高中数学中涉及的全部数学公式
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发布时间：2022-04-25 15:37
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时间：2023-10-13 14:02
1. 元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
7.解连不等式常有以下转化形式
.
8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若，则；
，，.
(2)当a<0时，若，则，若，则，.
10.一元二次方程的实根分布
依据：若，则方程在区间内至少有一个实根 .
设，则
（1）方程在区间内有根的充要条件为或；（2）方程在区间内有根的充要条件为或或或；
（3）方程在区间内有根的充要条件为或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(3)恒成立的充要条件是或.
12.真值表
13.常见结论的否定形式
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
15.充要条件
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
21.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.
22．多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称
.
(2)函数的图象关于直线对称
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数，，
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），
或，
或,
或,则的周期T=2a；
(3)，则的周期T=3a；
(4)且，则的周期T=4a；
(5)
,则的周期T=5a；
(6)，则的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1)（，且）.
(2)（，且）.
31．根式的性质
（1）.
（2）当为奇数时，；
当为偶数时，.
32．有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3).
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
(,且,,且,).
推论 (,且,,且,,).
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);
(2) ;
(3).
36.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若,,,,则函数
(1)当时,在和上为增函数.
， (2)当时,在和上为减函数.
推论:设，，，且，则
（1）.
（2）.
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
40.等差数列的通项公式
；
其前n项和公式为
.
41.等比数列的通项公式
；
其前n项的和公式为
或.
42.等比差数列:的通项公式为
；
其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).
44．常见三角不等式
（1）若 ，则 .
(2) 若 ，则 .
(3) .
45.同角三角函数的基本关系式
，=，.
46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
47.和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
..
50.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
(3).
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a=,b=，且b0，则ab(b0).
53. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=.
(2)设a=,b=，则a-b=.
(3)设A，B,则.
(4)设a=，则a=.
(5)设a=,b=，则a·b=.
63.两向量的夹角公式
(a=,b=).
64.平面两点间的距离公式
=
(A，B).
65.向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
66.线段的定比分公式
设，，是线段的分点,是实数，且，则
（）.
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点按向量a=平移后得到点.
(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
（5）为的的旁心.
71.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）柯西不等式
（5）.
72.极值定理
已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
推广 已知，则有
（1）若积是定值,则当最大时,最大；
当最小时,最小.
（2）若和是定值,则当最大时, 最小；
当最小时, 最大.
73.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
；
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
.
或.
75.无理不等式
（1） .
（2）.
（3）.
76.指数不等式与对数不等式
(1)当时,
;
.
(2)当时,
;
77.斜率公式
（ 、 ）.
78.直线的五种方程
（1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()( 、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若 ，
①;
②.
(2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；
②；
80.夹角公式
(1) .
( ， ,)
(2) .
( , ,).
直线 时，直线l1与l2的夹角是 .
81. 到 的角公式
(1) .
( ， ,)
(2) .
( , ,).
直线 时，直线l1到l2的角是 .
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
83.点到直线的距离
(点 ,直线 ： ).
84. 或 所表示的平面区域
设直线 ，则 或 所表示的平面区域是：
若 ，当 与 同号时，表示直线 的上方的区域；当 与 异号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若 ，当 与 同号时，表示直线 的右方的区域；当 与 异号时，表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. 或 所表示的平面区域
设曲线 （ ），则
或 所表示的平面区域是：
所表示的平面区域上下两部分；
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
87. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
,其中是直线的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
88.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
其中.
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;
;
;
;
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
92.椭圆的参数方程是.
93.椭圆焦半径公式
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时间：2023-10-13 14:03
