完全非弹性碰撞数学推导
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发布时间：2023-08-22 02:24
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时间：2024-12-04 10:31
1、证明命题之前熟悉一下矢量点积（标积）的概念。
假设有矢量A、B，则：A
.
B
=
|A|*|B|
cosθ
,θ是两个矢量的夹角。|A|、|B|是矢量的大小（模）。
矢量的点积遵守分配律和结合律：
(A
+
B)
.
(C
+
D)
=
A
.
C
+
A
.
D
+
B
.
C
+
B
.
D
2、证明命题
假设在平面空间中（立体空间也可，不过两个矢量肯定在一个平面上）有两个物体，质量分别是m1、m2，速度分别是矢量V1、V2，发生碰撞以后，分别以V1'，V2'。
不管发生什么碰撞，系统都是内力作用，没有外力，因此动量守恒：
m1V1
+
m2V2
=
m1V1'
+
m2V2'
(m1V1
+
m2V2)
.
(m1V1
+
m2V2)
=
(m1V1'
+
m2V2')
.
(m1V1'
+
m2V2')
m1^2|V1|^2
+
m2^2|V2|^2
+
2m1m2
V1
.
V2
=
m1^2|V1'|^2
+
m2^2|V2'|^2
+
2m1m2
V1'
.
V2'
1/2
m1^2|V1'|^2
+
1/2
m2^2|V2'|^2
+
m1m2
V1'
.
V2'=
m1
E1'
+
m2
E2'
+
m1m2V1'
.
V2'
而m1^2|V1|^2
+
m2^2|V2|^2
+
2m1m2
V1
.
V2
为定值，设为C
所以：
m1
E1'
+
m2
E2'
+
m1m2V1'
.
V2'
=
C
（E1'、E2'是碰撞后两个物体的动能）
m1
E1'
+
m2
E2'
+
m1m2|V1'*V2'|cosθ
=
C
(θ是V1'和V2'的夹角)
m1
E1'
+
m2
E2'
+
根号下(m1^2|V1'|^2
m2^2|V2'|^2)
*
cosθ
=
C
m1
E1'
+
m2
E2'
+
根号下(4m1m2
E1'
E2')
cosθ
=
C
问题变为：m1
E1'
+
m2
E2'
+
根号下(4m1m2
E1'
E2')
cosθ
-C
=
0
求E1'
+
E2'最大值。
这是一个求约束条件条件极值，根据拉格朗日乘数法：有f(x,y,z)=0，求g(x,y,z)的极值方法是：构造一个函数T(x,y,z)=
g(x,y,z)
+
λ
f(x,y,z)
，T(x,y,z)和g(x,y,z)有相同的极值。
T(x,y,z)
分别对x,y,z的偏微分=0，可解除极值条件。
构造函数T(E1',E2',θ)=
E1'
+
E2'
+
λ(m1
E1'
+
m2
E2'
+
根号下(4m1m2
E1'
E2')
cosθ
-C)
T分别E1'、E2'、θ
求偏微分=0
....
....
....
解得
sinθ
=
0
（速度方向相同）
E1'/m1
=
E2'/m2
（速度大小相等）
即：共速
（完）
