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什么是勾股数?

发布网友 发布时间:2022-04-25 15:18

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5个回答

好二三四 时间:2022-09-02 11:13

勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数,但是不可能得到所有的派生勾股数。其中,三个任意半径的圆相互外切,其半径两两相加,分别是以三个圆的圆心为顶点的三角形的三个边长。

懂视网 时间:2022-12-30 13:16

1、勾股数,又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理:直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a?+b?=c?)。

2、勾股定理在西方被称为Pythagoras定理,它以公元前6世纪希腊哲学家和数学家的名字命名。可以有理由认为他是数学中最重要的基本定理之一,因为他的推论和推广有着广泛的引用。虽然这样称呼,他也是古代文明中最古老的定理之一,实际上比Pythagoras早一千多年的古巴比伦人就已经发现了这一定理,在Plimpton 322泥板上的数表提供了这方面的证据,这块泥板的年代大约是在公元前1700年。

热心网友 时间:2024-03-09 02:00

勾股数指的是组成一个直角三角形的三条边长,三条边长都为正整数,例如直角三角形的两条直角边为a和b,斜边为c,那么两条直角边a的平方+b的平方等于斜边c的平方,那么这一组数组就叫做勾股数。一般把较短的直角边称为勾,较长直角边称为股,而斜边则为弦。

结合勾股数创造了勾股定理,是为了解不定方程的所有整数解而创造的定律。勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。

扩展资料

勾股数的特点:

1、满足勾股数的直角三角形的两条直角边为一个奇数,一个偶数,同时斜边为奇数。

2、连续的勾股数只有3,4,5这三个正整数。

3、连续的偶数勾股数只有6,8,10这三个整数。

参考资料来源:百度百科-勾股数

热心网友 时间:2024-03-09 02:00

在探究勾股定理之前,先让我们认识一下勾股定理吧!“在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这就是勾股定理,西方人称它为毕达哥拉斯定理。

勾股定理是一条古老而又应用广泛的定理。据说四千多年前,中国的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差,以治理洪水的。古埃及人也是用勾股定理,以绳打结的方法来确定直角,并且用这个方法确定金字塔的正方形底。勾股定理在现代的应用更加广泛。木工用三四五放线法来确定直线或直角。勾股定理在科学、技术、工程上的应用多得不胜枚举。

现在我们要研究的是勾股数。究竟什么是勾股数呢?实际上很简单。在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2,满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。例如(3,4,5);(5,12,13);(6,8,10);(7,24,25)等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2。显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数;反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。

那么,一组勾股数中的3个正整数之间又有什么关系呢?我仔细地研究了一番,在仔细研究后发现,勾股数的规律是很好找的。

任取两个正整数m、n(m>n),那么

a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数。

例如:当m=4,n=3时,

a=42-32=7,b=2×3×4=24,c=42+32=25,则7、24、25便构成一组勾股数。

证明:

∵a2+b2=(m2-n2) 2+(2mn) 2

=m4-2m2n2+n4+4m2n2

=m4+2m2n2+n4

=(m2+n2) 2

∵c2=(m2+n2) 2

∴a2+b2= c2

∴a、b、c构成一组勾股数。

若勾股数中的某一个数已经确定,可用如下两种方法确定另外两个数。

首先观察已知数是奇数还是偶数。

(1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成两个相邻的整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。

例如9是勾股数中的一个数,把9平方后拆成41、40两个相邻的整数,那么9、40、41便是一组勾股数。

(2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1。所得到的两个整数和这个偶数为一组勾股数。

例如8是勾股数中的一个数,把8除以2后,再平方,再加1得到17;8除以2后,再平方,再减1得到15,则8、15、17是一组勾股数。

以上的结论只是我观察各组勾股数得到的,究竟是否适用与所有勾股数还不好下定论,于是我就用代数证明法,进一步证明。

证明第(1)个猜想:设大于1的奇数为2n+1,那么把这个奇数平方后得到一个多项式4n2+4n+1,把这个多项式分成2n2+2n和2n2+2n+1,则2n2+2n和2n2+2n+1就是2n+1平方后拆成的两个相邻的整数。

∵(2n+1)2+(2n2+2n) 2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2

=4n4+8n3+8n2+4n+1

=(2n2+2n+1) 2

∴2n2+2n、2n2+2n+1和2n+1构成一组勾股数。

证明第(2)个猜想:设大于2的偶数为2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别加1,减1,所得到的两个整数为n2-1和n2+1。

∵(2n) 2+(n2-1) 2=4n2+n4-2n2+1

=n4+2n2+1

=(n2+1) 2

∴2n、n2-1和n2+1构成一组勾股数。

我除了观察到勾股数的构成以外,我还发现一组整数勾股数中的3个整数相加总是偶数,这是为什么呢?我又想到了用代数证明法来证明。

设3个整数勾股数为a、b、c(c>b>a),则b2=c2-b2=(c+a)(c-a)。分类讨论a、b、c的奇、偶性。

① a、c都为奇数,则(c+a)为偶数,(c-a)为偶数,那么b2为偶数,b也是偶数。

∵奇数+奇数+偶数=偶数

∴a+b+c=偶数

② a、c都为偶数,则(c+a)为偶数,(c-a)为偶数,那么b2为偶数,b也是偶数。

∵偶数+偶数+偶数=偶数

∴a+b+c=偶数

③ c与a一偶一奇,则(c+a)为奇数,(c-a)为奇数,那么b2为奇数,b也是奇数。

∵偶数+奇数+奇数=偶数

∴a+b+c=偶数

综合以上结论,我们知道了一组整数勾股数的3个整数相加总是偶数。

“勾股定理”的内容是:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2。这里,整数a、b、c被称为勾股数。一般我们常使用的勾股数有3,4,5;6,8,10;8,15,17;10,24,26;7,24,25等。

在直角三角形中,勾股定理的作用其一就是已知两边,求第三边。如已知两条直角边,求斜边。即a2+b2=c2 (c一般表示斜边)。若已知斜边和一条直角边,求另一条直角边,则可表示为a2=c2-b2或b2=c2 -a2。

我观察发现这些勾股数的特点,发现:它们中总有一个是3的倍数!这个发现让我好激动。我试着写了几组,果然这样。但是老师说这不能代表全部情况,必须想办法证明我的发现。在老师的帮助下,我采用了反证法来说明我的发现。

假设直角三角形三边长分别为a、b、c。c为斜边,a、b、c均为整数,且a、b、c均不能被3整除,由勾股定理得:
a2+b2=c2,所以a2=c2-b2 =(c+b)(c-b)

由于a、b、c都不能被3整除,所以a2一定不是3的倍数,我们对(c+b)(c-b)进行情况讨论:

(1) 若b、c除以3的余数都为1,设b=3m+1,c=3n+1,则c-b=(3n+1)-(3m+1)=3n-3m=3(n-m)一定能被3整除;

(2) 若b、c 除以3的余数都为2,设b=3m+2,c=3n+2,则c-b=(3n+2)-(3m+2)=3n-3m=3(n-m)也一定能被3整除;

(3) 若b、c除以3的余数一个为1,一个为2,设b=3m+1,c=3n+2,则c+b=(3n+2)+(3m+1)=3m+3n+3=3(m+n+1)仍能被3整除。所以,不论b,c为何数,(c+b)(c-b)一定是3的倍数,很显然,等式a2=(c+b)(c-b)的左右两边矛盾;所以假设不成立,所以a,b,c三个数中一定有一个数是3的倍数。

参考资料:http://blog.kcjy.cn/user1/zuokanyunqi/default.html

热心网友 时间:2024-03-09 02:00

勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。

①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。

例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:

1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。

掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。

例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?

用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。

勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'

勾股数的常用套路

所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。

①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。

例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:

1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。

掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。

例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?

用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。

勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'

勾股数的常用套路

所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)

热心网友 时间:2024-03-09 02:01

勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。

①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解。

例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17,10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数:3、4、5,5、12、13,7、24、25,9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点:

1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。

掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便。

例:直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少?

用特点1解:设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解:此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182。

勾股数的通项公式:
题目:已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
解答:
结论1:从题目中可以看出,a+b>c (1),联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2:a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) (2)
从(2)中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
所以:a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) (3)
首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 (4)
又(3)式可知a^2=X*n*m^2 (5)
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与(4)中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 (6),X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将(5)式与(6)式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,(n,n'为不相同素数的乘积) (7)
根据(7)知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单)
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'

勾股数的常用套路

所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...

参考资料:http://www.followtalk.com/information/2006322141842.htm

热心网友 时间:2024-03-09 02:02

勾股数: 满足勾股定理的正整数既称为勾股数
勾股定理,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理,国外称为毕达哥拉斯定理。可是,我国周朝初年(约公元前1100年)的数学家商高早就讲到过“勾广三,股修四,径隅五”,这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史*载,早在公元前五六世纪,就用过勾方加股方等于弦方的公式,不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应用,在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明,三国时期(公元3世纪)赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。

赵爽在这本书中,画了一个弦图:两个全等的直角三角形(三角形涂上朱色,它的面积叫做“朱实”)合起来形成矩形,四个这样的矩形合成一个正方形,中间留出了一个正方形的空格(涂上*,其面积叫做“中黄实”,也叫“差实”)。

赵爽释注道:“色股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦。”开方除之是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即:a2+b2=c2。他又巧妙地证明出:“按弦图,又可以勾股乘朱实二,信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”

即2ab+(b-a)2=c2

化简便得出:a2+b2=c2

这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明,而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。

勾股定理作为几何学中一条重要的定理,古往今来,有无数人探索过它的证明方法。据说,它的证明方法有500来种。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎(1633~1712年),他发明的一种证法极为简便,只需用一张硬纸,剪上几剪刀,一拼就可证明出来,读者如有兴趣不妨试一试。在1940年,一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中,就专门搜集了367个不同的证法。其中有一个证法最令人感兴趣,它是由一位美国总统作出的!

根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道,1876年4月1日,波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法,编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的,是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的,并且得到了两党议员的一致同意。后来,加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了(据说这是美国总统对数学的唯一贡献)。

加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC,设其边长分别为BA=c是斜边,AC=b,BC=a。作AE⊥BA,并使AE=BA,再延长CA到D,使AD=BC=a,连D、E,则四边形CBED梯形,

求证△DAE与△CBA是全等三角形,于是△DAE、△CBA与△ABE的面

由于三个三角形面积之和即是梯形的面积,因此可得出等式:

化简后即得等式:a2+b2=c2

这样勾股定理便得到证明。

人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边为下列各数的一些三角形:

120,119,169;

3456,3367,4825;

4800,4601,6649;

13500,12709,18541;

72,65,96;

360,319,481;

2700,2291,2541;

960,799,1249;

600,481,769;

6480,4961,8161;

60,45,75;

2400,1697,2929;

240,161,289;

2700,1771,3229;

90,56,106。

以上每个数组中的数,我们称为勾股数。

一般说来,如果正数x,y,z能满足下列不定方程

x2+y2=z2(1)

则这些整数叫做勾股数。

那么怎样求出勾股数呢?我们再观察几个简单的直角三角形的边:

3,4,5;5,12,13;

7,24,25;9,40,41;

11,60,61;13,84,85;

……

从这些数中,可发现以下规律:

第一个数是奇数,第二个数是第一个数的平方减1再除以2,第三个数是第一个数的平方加1再除以2,即设m为奇数,则一般会有:

于是就有

其中m为奇数。

但这只是一部分勾股数的规律。

(2)式两边同乘以4,则变形得:

(2m)2+(m2-1)2=(m2+1)2 (3)

很显然(3)式不论m是奇数还是偶数,等式都能成立。

然而由(3)式仍不能得到全部的勾股数。

那么怎样才能得到全部的勾股数呢?在公式(3)中,m为任意自然数,1是一个特殊的自然数,若它也变成任意自然数,设它变成n,为了使(3)式保持恒等,(3)中的第一项(2m)2应变成(2mn)2,则有

(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2(4)

其中m>n,(m,n)=1且m除以n的余数不等于2。

那么,可以证明出式(4)包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究,人们不仅要问

xn+yn=xn(5)

其中n>2,n是自然数。(5)式是否也有正整数解呢?这就是到现在还仍未解决的“费马猜想”。

参考资料:http://mkd.lyge.cn/zhanzheng/a47/016/06.htm

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