对求经过点（2，1）却与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小的直线的方程

发布网友发布时间：2023-08-07 11:34

共2个回答

热心网友时间：2023-09-14 00:18

解：由题意，直线方程可写为
x/a+y/b=1且a>0,b>0（截距式）
由于点(2,1)在直线上，得
2/a+1/b=1
直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为
ab/2
令c=2/a,d=1/b
则，c+d=1
求ab/2的最小值等价于求cd最大值，而
cd<=[(c+d)/2]^2=1/4（平均不等式）
等号成立的充要的条件是c=d即a=2b，得到
a=4，b=2
从而直线方程为
x/4+y/2=1。

热心网友时间：2023-09-14 00:18

y=-x/2+2追问能把过程写起吗

追答设直线斜率为k（按题意，k<0），则直线方程为y=kx-2k+1。由此求得直线与Y轴的交点为(0,1-2k)，与X轴的交点为(2-1/k,0)，所以所围三角形的面积S=(1-2k)(2-1/k)/2。令S=1/(2k^2)-2=0，解得，k=-1/2。所以所求直线方程为：
y=-x/2+2