正项数列{an},前n项和为sn,{an}满足a1=1,2sn=an(an+1) ⑴求an通项
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发布时间：2023-08-08 17:19
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时间：2023-08-14 03:49
(1)
n≥2时，
2an=2Sn-2S(n-1)=an(an+1)-a(n-1)[a(n-1)+1]
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
数列为正项数列，an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-1=0
an-a(n-1)=1，为定值
a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列
an=1+1×(n-1)=n
数列{an}的通项公式为an=n
(2)
1/(an+2)²=1/(n+2)²<1/[(n+1)(n+2)]
An=1/(a1+2)²+ 1/(a2+2)²+...+1/(an+2)²
<1/[(1+1)(1+2)]+ 1/[(2+1)(2+2)]+...+ 1/[(n+1)(n+2)]
=1/(2×3)+ 1/(3×4)+...+1/[(n+1)(n+2)]
=1/2 -1/3 +1/3 -1/4 +...+1/(n+1) -1/(n+2)
=1/2 -1/(n+2)
1/(n+2)>0，1/2 -1/(n+2)<1/2对于任意正整数n恒成立
综上，得：对于任意正整数n，An<1/2恒成立。
