强式市场的有效市场的数学表达

发布网友发布时间：2023-06-23 10:39

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热心网友时间：2023-10-08 19:41

令:Φt-1 --第t-1期与股票市场价格有关且可获得的所有信息的集合;
Φmt-1----为被市场用于决定t-1期股票价格的信息集合;
Pjt ----为股票j在t期的价格;
fm(P1t,P2t,…,Pnt/Φmt-1)为t-1期市场利用信息集合预测下一期各股票价格的联合概率密度函数;
f(P1t,P2t,…,Pnt/Φt-1)为t-1期信息集合Φt-1 隐含下一期各股票价格的联合概率密度函数.
以上的Φt-1应具备以下两个条件:
Φt-1 包含所有相关变量在t-1期以及以前各期所包含的信息.例如t-1期以及以前各期的业绩,市场状况,消费者偏好,国民收入等.所以,Φt-1 中包含了Φt-2 Φt-3 Φt-4….信息.Φt-1之前各期的Φt-1-k都是Φt-1的子集.
Φt-1包含所有相关变量彼此有关变量的信息,包括过去,现在和将来的各种信息.具体来说,Φt-1包含同一变量及不同变量t-1期及以前或以后相互关系的状况,以及依t-1期状况预测未来的可能情况.因此,t-1期隐含着下一期各股票价格的联合概率密度f(P1t,P2t,…,Pnt/Φt- 1).
Fama认为,决定t-1期股票价格的顺序如下:先由Φmt-1决定fm(P1t,P2t,…,Pnt/Φmt-1),再由fm(P1t,P2t,…,Pnt/Φmt-1)决定个别股票市价(P1t,P2t,…,Pnt).在这个过程中,有效市场应具备以下两个条件:
第一,Φmt-1 =Φt-1
第二,fm(P1t,P2t,…,Pnt/Φmt-1)=f(P1t,P2t,…,Pnt/Φt-1)
上面第一式说明,市场用来决定各股票价格的Φmt-1,包含所有可获得的信息Φt-1.第二式表示市场能够准确地利用各种可获得的信息,从而推断出真正的概率密度,由此函数即可决定个别股票t期的价格.
由此定义可知,所谓有效市场是指市场能知晓所有可用的信息,并且能够正确地据此决定各股票即期(t-1)的市场价格.因此,在有效市场中,股票价格能充分地反映所有可以获得的信息.
实际上,有效市场价格通常是指股票的收益率.
设: Rnt=( P1,t-PI,t-1,)/( P I, t-1) i=1,2,3,..,n
以 Rit 代替Pit,则前面的公式fm(P1t,P2t,…,Pnt/Φmt-1)=f(P1t,P2t,…,Pnt/Φt-1)变为下式:
fm(R1t,R2t,…,Rnt/Φmt-1)=f(R1t,R2t,…,Rnt/Φt-1)
令Xit=Pit-E(Pit/Φt-1), (超额收益) (i=1,2,3,…,n)
这里E(x)为x的期望函数,则有:E(X1t/Φt-1)=0, i=1,2,3,…n
这样,通过定义可知,Xit是公平游戏(fair game).
如果令Zit= Rit - E(Rit/Φt-1), (超额收益率)i=1,2,3,…,n 则E(Zit/Φt-1)=0.Zit 系列也是公平游戏系列.
在经济学现象中,Xit是t-1时刻股票i的超额利润,而Zit是超额利润率.
令:W(Φt-1)=[W1(Φt-1 ), W2(Φt-1), …, Wn(Φt-1)]表示在信息集合Φt-1下投资于n种股票的组合份额,则总的超额收益率为:
Vt=∑[ Wi(Φt-1)(Rit –E(Rit/Φt-1))]
如果游戏是公平的,则有:
E(Vt)= ∑[ Wi(Φt-1)E(Zit/Φt-1)]=0
上式的含义是:如果所有股票的超额收益率为0,则投资组合的超额收益率也为0(即游戏是公平的).反之,如果某一个股票的超额收益不为0,则必然存在一系列组合其超额收益率不为0.