请给出参加竞赛的各种定理(几何,代数,操作).xiexie
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发布时间：2022-04-24 06:23
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时间：2022-06-16 18:55
数学定理
三角形三条边的关系
定理：三角形两边的和大于第三边
推论：三角形两边的差小于第三边
三角形内角和
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
推论1 直角三角形的两个锐角互余
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角
角的平分线
性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言：
∵OC是∠AOB的角平分线（或者∠AOC＝∠BOC）
PE⊥OA，PF⊥OB
点P在OC上
∴PE＝PF（角平分线性质定理）
判定定理 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
几何语言：
∵PE⊥OA，PF⊥OB
PE＝PF
∴点P在∠AOB的角平分线上（角平分线判定定理）
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等
几何语言：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等边对等角）
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何语言：
（1）∵AB＝AC，BD＝DC
∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
（2）∵AB＝AC，∠1＝∠2
∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
∴∠1＝∠2，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
推论2 等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°
几何语言：
∵AB＝AC＝BC
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°）
等腰三角形的判定
判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
几何语言：
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC（等角对等边）
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
几何语言：
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝AC＝BC（三个角都相等的三角形是等边三角形）
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
几何语言：
∵AB＝AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
几何语言：
∵∠C＝90°，∠B＝30°
∴BC＝ AB或者AB＝2BC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
线段的垂直平分线
定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
几何语言：
∵MN⊥AB于C，AB＝BC，（MN垂直平分AB）
点P为MN上任一点
∴PA＝PB（线段垂直平分线性质）
逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
∵PA＝PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线判定）
轴对称和轴对称图形
定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定理3 两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称
勾股定理
勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即
a2 ＋ b2 ＝ c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形
四边形
定理 任意四边形的内角和等于360°
多边形内角和
定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n － 2）·180°
推论 任意多边形的外角和等于360°
平行四边形及其性质
性质定理1 平行四边形的对角相等
性质定理2 平行四边形的对边相等
推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC，AB‖CD（平行四边形的对角相等）
∠A＝∠C，∠B＝∠D（平行四边形的对边相等）
AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分）
平行四边形的判定
判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD‖BC，AB‖CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD＝BC，AB＝CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AO＝CO，BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD‖BC，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
矩形
性质定理1 矩形的四个角都是直角
性质定理2 矩形的对角线相等
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD（矩形的对角线相等）
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°（矩形的四个角都是直角）
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言：
∵△ABC为直角三角形，AO＝OC
∴BO＝ AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言：
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言：
∵AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
菱形
性质定理1 菱形的四条边都相等
性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
几何语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四条边都相等）
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC
（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）
判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
几何语言：
∵AB＝BC＝CD＝AD
∴四边形ABCD是菱形（四边都相等的四边形是菱形）
判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：
∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
正方形
性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称和中心对称图形
定理1 关于中心对称的两个图形是全等形
定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
梯形
等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
几何语言：
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（等腰梯形在同一底上的两个角相等）
等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
几何语言：
∵∠A＝∠B，∠C＝∠D
∴四边形ABCD是等腰梯形（在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）
三角形、梯形中位线
三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半
几何语言：
∵EF是三角形的中位线
∴EF＝ AB（三角形中位线定理）
梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半
几何语言：
∵EF是梯形的中位线
∴EF＝ (AB＋CD)（梯形中位线定理）
比例线段
1、 比例的基本性质
如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc
2、 合比性质
3、 等比性质
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
几何语言：
∵l‖p‖a
（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例）
推论 平行与三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边
垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵OC⊥AB，OC过圆心
（垂径定理）
推论1
（1） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径
（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
（2） 弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵AC＝BC，OC过圆心
（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
几何语言：
（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）
推论2 圆的两条平分弦所夹的弧相等
几何语言：∵AB‖CD
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
圆周角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直角
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
圆的内接四边形
定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
几何语言：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠ADB＝180°，∠B＝∠ADE
切线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠ACM所对的是 ， =
∴∠BCN=∠ACM
和圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等
几何语言：∵弦AB、CD交于点P
∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点P
∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB（切割线定理）
推论 从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等
几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB（切割线定理推论）
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时间：2022-06-16 18:56
一、注意基本概念的落实在一元二次方程的应用和相似形这两章节中，有非常多的数学定义、定理、法则。其中“一元二次方程的应用”中，要利用数的关系、勾股定理、几何面积、体积及物理中的有关公式等列式；要建立简单的数学模型解决实际问题(如互赠礼物、比赛场次及平均增长率等)；会求根公式法对二次三项式进行因式分解；知道分式方程、无理方程、二元二次方程组的概念并会解方程。在“相似形”这一章节中，要熟练掌握平行线分线段成比例的五个定理和一个逆定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理，并应用这些定理来解题。
二、注意基本方法的提炼学习数学，掌握基本方法非常重要，数学的基本方法有：分析法、综合法、反证法、归纳法、消元法、降次法、代入法、图象法、比较法、配方法、待定系数法、换元法等等。我们在平时学习中，要善于通过典型题例认识了解数学方法，通过训练熟练应用数学方法，通过总结归纳优化数学方法，最终达到举一反三、为我所用的地步。
列方程解应用题是学生学习的难点，但如果知道一般步骤，并善于分析，寻找已知量、未知量的相等关系，那么难题也迎刃而解。例如：列一元二次方程解应用题的一般步骤是：⑴.弄清题意，确定适当的未知数，要注意写上单位；⑵.寻找已知量、未知量的相等关系；⑶.列出方程，要注意方程两边的量相等，方程两边的代数式的单位相同；⑷.解方程，要注意求得的方程的解不一定符合题意，因此，解出方程后一定要进行验算。掌握了列方程解应用题的通法，解决问题的就不再那么难了。
此外，许多数学方法隐含在数学定义、定理、法则中，在复习时，我们要善于从中进行基本方法的提炼，找到数学解题的基本方法，避免陷入茫茫无边的“题海”。
三、注意综合能力的提高数学练习是帮助学生理解掌握数学基本概念、基本方法的有效手段，我们反对简单地做大量的练习，但做适量的综合练习是可以的，而且是必要的。
四、注意数学思想的渗透数学思想是数学的精髓，对数学思想方法的考查是中考的一个重要方面，初中阶段涉及的基本思想有：字母表示数思想、化归思想、分类讨论思想、图形运动思想、数学建模思想等。比如在相似形这一章中，就蕴含了十分丰富的数学思想方法，其中尤以函数与方程思想、数形结合、等积变换、面积法等数学思想方法更为重要，理解与掌握这些思想方法的意义远胜于解一二道题目。我们要善于在实践中增强数理意识，提升数学素养，为今后学习生活打下基础。
抓住期中复习的关键点，实际上是探寻学习规律，优化学习方法，提高学习能力的过程，只有学会学习、善于总结反思，才能避免陷入题海战术，达到事半功倍的复习效率。
热心网友
时间：2022-06-16 18:56
数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。
1、实数
十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
素数和合数，最大公约数与最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
2、代数式
综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
部分分式。
对称式和轮换对称式。
3、恒等式与恒等变形
恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
4、方程和不等式
含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的一次不定方程。
列方程（组）解应用题。
5、函数
y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及 y=ax2+bx+c的图像和性质。
二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。
6、逻辑推理问题
抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。
简单的组合问题。
逻辑推理问题，反证法。
简单的极端原理。
简单的枚举法。
7、几何
四种命题及其关系。
三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。
面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。
