一些共形场论 (conformal field theory CFT)的书,讲义和笔记
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发布时间：2023-07-19 18:45
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时间：2024-12-07 14:09
一些note关于CFT。从Polchinski的弦论一卷开始，就一直感觉自己没有很懂CFT, 可能那时所知太少，还没形成一个理解知识的内核。如果当时能把CFT啃下来，内化当做内核，必将受用无穷，可惜当时囫囵吞枣，也看过一些其他CFT的书，还是同样的问题，连皮毛也没有学到。几年的潜移默化还有组会的熏陶，再加上群论的内核，今年年初再看Polchinski大呼过瘾，终识弦论里面种种精妙。但是作为内核的CFT还是不能融会贯通。
CFT 的内容真实太丰富了:
1. Null states， 这个很有趣，在弦论里面也很重要。因为在每一个源场的表示里，可能会有一些null state，还有可能出现negative norm的态，这些太都不允许在unitary的理论里出现。怎样去除这些态是弦论自洽的一个很重要的方面。从这个角度也可以理解minimal model。就是如果一个CFT里面可能存在无数个null state,当把他们都除去后，剩下的primay态就变成有限的了。这些minimal model的central charge 都在0和1之间。
2. state-operator correspondence. 在一般的QFT里，算符和量子态是分开来的，他们属于不同的空间。但是在CFT里面，他们有一个意义对应。这个不知是2维CFT的性质，而是所有定义在平坦空间的CFT的性质。但是如果把CFT定义在更一般的manifold上的时候，这个对应还没有建立起来。这个对应可以理解为，量子态是定义在整个空间但是某一个时间点上的，也可以说我们选取一个时空的切片，在上面放一个量子态，然后量子态在时间方向上演化。但是因为共形对称，我们可以把这个态放到无穷远，或者把这个时空切片缩小到无穷小的点，这就等效于我们在那个点上加入了一算符。可以看出这个过程很依赖空间的拓扑性质，这也是为什么对于一般的manifold，这个对应很难建立。
3. operator proct expansion （OPE），这个也是CFT一个最大的特点。就是当两个算符无限接近的时候，他们的乘积是希尔伯特空间里的，也就是说两个算符的乘积当他们在空间无限接近的时候可以等价于一个一些算符的线性叠加。这个性质QFT也有，只不过在一般的QFT里，这个线性叠加的收敛半径无穷小，也就是说这个叠加发散，所以没什么大用。但是在CFT里，收敛半径是有限的。所以在远离其他算符的地方，两个算符的OPE总是收敛的。有了OPE的一个结果就是所有的代数都可以用OPE表示, 也就是所有的对易关系都有OPE来反应。也是因为OPE,所以n个场的关联函数可以分解成3场的关联函数。
4. 扩大CFT的代数结构。最简单的是，加入其他的对称，这些对称对应了conserve current, 这些current 构成了一个新的代数 Kac Moody 代数。这样我们就可以用Lie群或是Lie 群的coset来构造CFT, 比较有名的model 就是Wess-Zumino-Witten (WZW) model. 我们理解WZW为，在群manifold上的弦论。这些对称群量子化会出现anomaly，就像Virasoro 代数的拓展。要消除这个anomaly，就需要在作用量里加入一个拓扑项(Witten的贡献)。
5. 在Virasoro 代数里加入其他的源场, 考虑他们组合在一起的更一般的代数，W 代数。
6. 还有很大的一个领域是超对称的CFT
以上的这些内容大多比较成熟了，在教材还有讲义或多或少都会提及，觉得都是CFT的一些基本的概念，需要内化掌握。还有一些更前沿的研究的课题。比如CFT的deformation,还有怎么求解CFT的一些技巧，还有考虑CFT的纠缠熵什么的。
有幸自己做了一点点CFT相关的研究，作为一个契机开始对CFT有了兴趣和了解。对CFT的理解和学习才还有很长的路要走啊。
