复合对称要素
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发布时间：2022-04-24 20:12
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时间：2022-05-23 14:32
复合对称要素(compound symmetry element)是指由两种不同方式之对称变换结合在一起所构成的对称要素。它的作用是在不间断地连续施行完这两种对称变换后(其间只是在半途改变了一下变换的方式)才达到晶体的复原。它包括:
(1)倒转轴(roto-inversion axis，符号Lni):亦称旋转反伸轴，又称反轴或反演轴(inversion axis)等。它的辅助几何要素有两个:一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的倒反两者之复合。在这里，这两个不同方式的变换作用是构成整个对称变换的不可分割的两个组成部分。无论是先旋转后倒反，或是先倒反后旋转，效果完全相同，但都是在两个变换作用连续完成以后才使晶体复原。同对称轴的情况一样，倒转轴也有一定的轴次n和基转角α，并同样遵守晶体对称定律。所以，倒转轴共有L1i、L2i、L3i、L4i和L6i五种。
图3.5 L4i之对称变换的图示
例如四次倒转轴L4i，相应的对称变换为围绕该轴线旋转90°和对于其上一个定点进行倒反两者的复合。图3.3D是一个具有L4i的图案;图3.5A则是一个具有L4i的晶体，其晶形可看成是由一大一小两个晶面为一组(图中均匀灰色部位)的四个相同部分所组成;图3.5B中以棱长均不等的四面体来代表相同部分，对其进行L4i的对称变换分析。图中L4i与直角坐标系的Z轴重合，其倒反点位于原点O上。现从四面体A开始，其尖顶的坐标为(x，y，z)，用以示意性地指示A的空间位置。从A逆时针旋转90°至B(-y，x，z)，B只是一个虚的过渡位置，紧接着尚需由B进行倒反而变换至C(y，-x，-z)，至此才完成了L4i的第一次对称变换，出现对称重复，故四面体C为一实际存在的相同部分。然后进行第二次类同的对称变换，从C经D(x，y，-z)至E(-x，-y，z)，E亦为相同部分。同样还可由E经F(y，-x，z)得出相同部分G(-y，x，-z);再由G经H(-x，-y，-z)最后回到A而复原。在以上过程中也可先倒反后旋转90°，例如由A倒反至H再转90°至C而重复，如此等等。不论其间变换的顺序和途径如何，最终结果必完全相同。总之，由L4i相联系而能对称重复的相同部分仅有A、C、E、G四者(图中带阴影者)，而B、D、F、G都只是在一个复合对称变换中所含之两个不同的子变换进行交接瞬间所处的临时中转站，并无发生重复的实体存在。
不仅L4i，对其余四种倒转轴也都可以类似地得出与各自对称变换相对应的结果。从中可以发现，除L4i为一独立的对称要素外，其余四者各自(设以E1代表)都与一定的简单对称要素E2或其集合{E3，E4}存在全等关系，亦即E1与E2或E1与{E3，E4}，当它们分别通过各自的全部对称变换后，最终能使同一物体(或图形、函数)达到完全等同的复原效果，而不论其间的具体过程是否相同。
图3.6A为一具L6i的晶体，它被按虚线划分成六个相同部分，后者在图3.6B中以六个相同的不等棱四面体来代表。当依图中的中轴线及其中点多次作L6i之旋转60°并倒反的复合对称变换后，可使A、B、C、D、E、F各相同部分间依次相互重复，即整体复原。但它们也可通过绕中轴线旋转120°之L3的对称变换，以及垂直中轴线之平面的反映变换，共同完成使之整体复原的效果。于是可得L6i≡{L3，P}。
图3.6 L6i之对称变换的图示
基于在对称变换之最终效果上存在等同关系的考虑，可以得出各次倒转轴与其他对称要素(或对称要素的集合)间的全等关系如下:
结晶学导论
只有L4i是一种独立的对称要素，不能由其他的简单对称要素或它们的集合来全等代替;但在L4i内必定包含着一个与之重合的L2。
鉴于存在着以上的关系，对于倒转轴通常只考虑其中的L4i和L6i。L4i作为一种独立的对称要素，自然是必须考虑的。L6i虽与{L3，P}的集合全等，但它在对称分类中有特定的意义(参见表3.2)，所以现都采用L6i来代替{L3，P}的集合。至于其他的倒转轴，通常均由全等的简单对称要素或它们的集合来代表;但有时也采用L1i来代替C，用L3i来代表{L3，C}的集合。
在晶体中，独立的L4i和L6i可能出现的情况是:一个晶体，如没有C，但有一L3，且垂直此L3还有一个P时，则在此L3的方向上肯定有一L6i存在，而且由L6i可以完全取代此{L3，P}的集合。一个晶体，如没有C，但有L2时，则此L2有可能是一个L4i，但并非必定就是一个L4i;若确定为L4i时，则此L2将被包含在L4i之内而不再独立出现。在作图时，垂直于图面的L4i、L6i和L3i分别以 的符号来标记。
在对称轴和倒转轴中，当轴次n相同时，可统称为n次轴(n-foldaxes)，例如L4和L4i统称为四次轴等;而当n＞2时，则总称为高次轴(higher-foldaxes)。
(2)映转轴(roto-reflectionaxis，符号Lns):亦称旋转反映轴。它的辅助几何要素为一根假想的直线和垂直此直线的一个平面;相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此平面反映的复合。在晶体中，只能有一次、二次、三次、四次及六次的映转轴。
基于全等关系的考虑，可以得出如下的结论:
结晶学导论
所以，每一个映转轴都可以由与之全等的倒转轴来代替它。在以后的叙述中，一般将不再涉及映转轴。
