线性电路的分析方法_一阶线性动态电路的分析方法
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发布时间：2023-07-15 06:54
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时间：2024-08-12 14:08
关键词： 一阶线性 动态电路 求解方法
一阶线性动态电路指的是电路中只含有一种储能元件（电容或电感），当电路的结构或元件参数发生改变时，电路的工件状态将由原来的稳态转变成另一个稳态，这种转变是需要一个过程的。一阶线性动态电路其动态过程的数学模型是一阶常系数微分方程。此类电路以RC电容充放电电路、RL电感储能和释能电路最为常见，其动态过程中的电流和电压都是变化的。这与通常描述的直流电路和周期*流电路中，电压及电流恒稳不变，或按周期性规律变动的稳态电路不同。在分析方法上也完全不同。下面以RC动态电路为例，运用四种方法求解动态过程中的电流和电压的变化规律。
如图1，RC电路开关S合上前电容已充过电，电容上的电压U（0_）=U，求开关合上后电路中的电流i和电压u。
解法一：微分方程法
由i=C，得回路电压方程
u+CR=U
得：u=U+Ae
由换路定律知：t=0时，u（0_）=u（0）=U代入上式确定常数A值
得：A=U-U
所以u=U+（U-U）e
i=C=e
可见当开关S闭合后，电容充电电容电压由U逐渐增大为U，电路电流由按指数规律逐渐衰减为0。
解法二：三要素法
一阶线性动态电路的三要素公式为：
f（t）=f（∞）+［f（0）-f（∞）］e（t≥0）
其中三要素为：稳态值f（∞）为t=∞时所求响应的稳定值
初始值f（0）为t=0时所求响应的起始值
时间常数τ=CR
由此得：u=U+（U-U）e
i=0+-0e=e
解法三：拉氏变换法
由回路电压方程u+CR=U?藓（t）
其中?藓（t）为阶跃函数?藓（t）=1（t≥0）?藓（t）=0（t<0）
对此方程作拉氏变换得：U（S）+CR［SU（S）-U（0_）］=
得：U（S）=+=-+
由拉氏逆变换得：u=U-Ue+Ue=U+（U-U）e
i==e
解法四：R、C元件的复频域模型法
i=C
运用拉氏变换得：I（S）=CSU（S）-CU（0_）
得：U（S）=+
根据图2所示的RC电路复频域等效模型，由基尔霍夫定律的复频域方程得：
++I（S）R=
得：I（S）=×=（U-U）
由拉氏逆变换得：i=e
u=U-i（t）R=U-（U-U）e=U+（U-U）e
文中用四种方法求解了一阶线性动态电路的响应，对比此四种方法，对一阶动态电路，三要素法只需根据换路后的等效电路，确定出三要素后就能直接按表达式写出响应。微分方程法要运用初始条件求常数A，且求解过程也相对复杂些，但微分方程是依据回路的电压方程列出的，物理意义很明确，是三要素法、拉氏变换法的基础。在二阶RLC动态电路分析中，所列出的方程是二阶微分方程，求解难度较大，此种情况下用拉氏变换把微分方程转化为代数方程，运用动态电路复频域分析法求解会较为方便。因此在分析动态电路时，选择合适的求解方法，会达到事半功倍的效果。
参考文献：
［1］王慧玲.电路基础.高等教育出版社，2007：11.
［2］王翠萍.应用数学.中国纺织出版社，2009：4.
