二阶线性微分方程y''－y＝e的－x次方＋e的x次方的特解形式为（详情看图）
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发布时间：2022-04-25 01:38
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时间：2023-10-19 20:59
求微分方程y''-y=e^(-x)+e^x的通解。
解：齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根：r₁=-1；r₂=1；
因此齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x；
设其特解为：y*=ax[e^(-x)+e^x]
则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;
y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;
代入原式得：
(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;
∴-2a=1，即a=-1/2；故特解为：y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
简介
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。
如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。
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时间：2023-10-19 20:59
解：齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根：r₁=-1；r₂=1；
因此齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x；
设其特解为：y*=ax[e^(-x)+e^x]
则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;
y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;
代入原式得：
(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;
∴-2a=1，即a=-1/2；故特解为：y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x].
【特解与齐次方程的特征方程的根有关，故先要求齐次方程的通解。】
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时间：2023-10-19 21:00
设特解为(Ax+B)e^(-x)+(Cx+D)e^x
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时间：2023-10-19 21:00
这是所谓的共振的情形！
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时间：2023-10-19 21:01
简单计算一下即可，答案如图所示
