微积分如何表达 圆柱体体积?(谢谢)

发布网友 发布时间：2023-07-21 06:08

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热心网友 时间：2024-12-01 15:08

解法一(初等法)：已知 圆柱体底圆半径r=1.1m
圆柱体长度l=8m
圆柱体内水的高度h=0.87m
于是，由初等几何知识，
可求得圆柱体卧倒后圆柱体内水平行于圆柱体底面的截面积(月型截面)
S=r²arcsin{√[r²-(r-h)²]/r}-(r-h)√[r²-(r-h)²]
≈1.39837509m²
于是，水的体积=l*S≈8*1.39837509≈2.51707516m³。
解法二(微分法)：已知 圆柱体底圆半径r=1.1m
圆柱体长度l=8m
圆柱体内水的高度h=0.87m
以圆柱体底面圆为方程x²+y²=r²建立坐标系
于是，根据微分学知识，
可求得圆柱体卧倒后圆柱体内水平行于圆柱体底面的截面积(月型截面)
S=2∫(r-h,r)√(r²-x²)dx (∫(a,b)表示从a到b积分)
=[r²arcsin(x/r)+x√(r²-x²)]|(r-h,r)
=πr²/2-r²arcsin[(r-h)/r]-(r-h)√[r²-(r-h)²]
≈1.39837509m²
所以，水的体积=l*S≈8*1.39837509≈2.51707516m³。

热心网友 时间：2024-12-01 15:08

水高h，半径r，截面积(圆截面)S，
面积微分为2√(r^2-(r-x)^2 )dx

S=2∫0->h〖√(r^2-(r-x)^2 )〗dx
=2∫0->h〖√(r^2-(x-r)^2 )〗d(x-r)
=(h-r) √(r^2-(h-r)^2 )+r^2 arcsin (h-r)/r+(πr^2)/2
h=0.87, r=0.55
S=0.064032+0.1878411311+0.4751658888
=0.727039
水体积V=8S=5.816312 m^3

热心网友 时间：2024-12-01 15:08

解法一(初等法)：已知
圆柱体底圆半径r=1.1m
圆柱体长度l=8m
圆柱体内水的高度h=0.87m
于是，由初等几何知识，
可求得圆柱体卧倒后圆柱体内水平行于圆柱体底面的截面积(月型截面)
S=r²arcsin{√[r²-(r-h)²]/r}-(r-h)√[r²-(r-h)²]
≈1.39837509m²
于是，水的体积=l*S≈8*1.39837509≈2.51707516m³。
解法二(微分法)：已知
圆柱体底圆半径r=1.1m
圆柱体长度l=8m
圆柱体内水的高度h=0.87m
以圆柱体底面圆为方程x²+y²=r²建立坐标系
于是，根据微分学知识，
可求得圆柱体卧倒后圆柱体内水平行于圆柱体底面的截面积(月型截面)
S=2∫(r-h,r)√(r²-x²)dx
(∫(a,b)表示从a到b积分)
=[r²arcsin(x/r)+x√(r²-x²)]|(r-h,r)
=πr²/2-r²arcsin[(r-h)/r]-(r-h)√[r²-(r-h)²]
≈1.39837509m²
所以，水的体积=l*S≈8*1.39837509≈2.51707516m³。