证明向量e1、e2、e3共面的充要条件是“存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”

发布网友发布时间：2022-04-25 01:56

共2个回答

热心网友时间：2023-10-20 08:10

1.若向量e1、e2、e3共面，
(i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是
λe1+μe2-e3=0.
即存在三个不全为零的实数λ，μ，υ=-1，使得
λe1+μe2+υe3=0”。
(ii)若e1,e2,e3都共线，则其中至少有一个不为0，不妨设e1≠0，则存在实数λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.
2.存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨设λ≠0，
就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,
于是e1,e2,e3共面。

热心网友时间：2023-10-20 08:11

1楼正解！

证明 向量e1、e2、e3共面的充要条件是“存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”

证明向量e1、e2、e3共面的充要条件是“存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”