初二勾股定理证明,要带图的。三种方法!

发布网友 发布时间：2022-04-26 17:38

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热心网友 时间：2023-10-18 04:21

勾股定律证明的三种方法如下：

【方法1】

【方法2】

【方法3】

扩展资料：

在我国数学上，早就有勾3股4弦5的说法，这是勾股定律的一个特例，勾3a，股4a，弦5a都符合勾股定律。

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长c，存在下面这个关系：a²+b²=c²

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

参考资料来源：勾股定理_百度百科

热心网友 时间：2023-10-18 04:22

证法1：（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P。

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

∴ ，即 a^2+b^2=S+2*1/2ab

 c^2=S+2*1/2ab

∴  a^2+b^2=c^2

证法2：（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90°，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90°，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

证法3：（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。

∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =矩形MLEB的面积

∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ ，即 a^2+b^2=c^2

扩展资料

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

热心网友 时间：2023-10-18 04:22

【证法1】（梅文鼎证明）
　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠EGF = ∠BED，
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S，则
　　,
　　∴ .
　　【证法2】（项明达证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ，垂足为N.
　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
　　∴ ∠MPC = 90°，
　　∵ BM⊥PQ，
　　∴ ∠BMP = 90°，
　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.
　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，
　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
　　∴ ∠QBM = ∠ABC，
　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
　　【证法3】（赵浩杰证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
　　∴FI=a，
　　∴G,I,J在同一直线上，
　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
　　∠CJB = ∠CFD = 90°，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
　　∴∠ABG = ∠BCJ,
　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
　　∵∠ABC= 90°,
　　∴G,B,I,J在同一直线上，
　　【证法4】（欧几里得证明）
　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，
　　交AB于点M，交DE于点L.
　　∵ AF = AC，AB = AD，
　　∠FAB = ∠GAD，
　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
　　∵ ΔFAB的面积等于，
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半，
　　∴ 矩形ADLM的面积 =.
　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.
　　∵ 正方形ADEB的面积
　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
　　∴ ，即 a^2+b^2=c^2