最简单的勾股定理的证明方法是什么?

发布网友 发布时间：2022-04-26 17:38

我来回答

共11个回答

热心网友 时间：2022-05-15 02:41

展开3全部

简单的勾股定理的证明方法如下：

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。

发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为（a+b）的正方形；四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为（a+b）的正方形。

所以可以看出以上两个大正方形面积相等。 列出式子可得：

拓展资料：

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

参考资料：勾股定理_百度百科

热心网友 时间：2022-05-15 03:59

证法一： 

这是最简单精妙的证明方法之一，几乎不用文字解释，可以说是无字证明。如图所示，左边是4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

图形变换后面积没有变化，左边大正方形的边长是直角三角形的斜边c，面积是c2；右边图形可分割为两个正方形，它们的边长分别为直角三角形的两条直角边a和b，面积就是a2＋b2，于是a2＋b2＝c2。

图中左边的“弦图”最早出现在公元222年的中国数学家赵爽所著《勾股方圆图注》，赵爽是我国数学史上证明勾股定理的第一人。2002年8月，在北京召开的国际数学家大会，标志着中国数学进入崭新的时代，大会会徽就是这个“弦图”，寓意中国古代数学取得的重要成果。

证法二： 

这一解法应该是来历最有趣的证明方法之一，是由美国第20任总统茄菲尔德（JamesA.Garfield，1831～1881）用下图证明出的。

这位总统并不是一位数学家，他甚至都不曾学习过数学。他只是非正式地自学过几何知识，很喜欢摆弄基础图形，当他还是众议院议员时，想出了这个精巧的证明，1876年发表在《新英格兰教育杂志》(New England Journal of Ecation)上。总统先生的证明如下：

首先，图中的梯形面积为：

组成梯形的三个三角形的面积为：

因此就有如下等式：

即得a2＋b2＝c2。  

接下来的两个证明非常简单易懂，被认为是所有证明中最短、最简单的证明，因为从开始到结束只用了几行。但这些证明依赖于相似三角形的概念，要全面展开这个概念还需要大量的基础工作，这里就不再赘述。

证法三：

证法四： 

这一证法涉及到圆内相交弦定理：m·n＝p·q（如左图），再看AB和CD垂直的情况，相交弦定理仍然成立（如右图），因此(c－a)(c＋a)＝b2。即得c2－a2＝b2于是，a2＋b2＝c2。

热心网友 时间：2022-05-15 05:34

勾股定理魏德武证法到目前为止，可以说其证法是所有勾股定理证法中最简捷、最实用的首选方法，学者一看就懂，一学就会。用四块全等直角三角形边长分别为a、b、c，组成二块长方形面积（ab+ad=2ab），再将二块长方形面积分开，从新组成一块边长为c的正方形，通过形变将原有的四块全等直角三角形面积转换成c^2-(b-a)^2进行计算,。根据前后面积不变的原理构筑一对恒等式2ab=c^2-(b-a)^2化简后得c^2=a^2+b^2。这样既不要割补也不需求证，,就可轻而易举地导出直角三角形三边的内在关系。

热心网友 时间：2022-05-15 07:25

勾股定理魏德武证法简明易懂，让人一目了然。用四块全等直角三角板，将每块直角三角形的三边长分别用小写a、b、c来表示，然后依次拼成两块长方形面积（ab+ab=2ab），再将其拆开重新组合，通过形变转化成边长为c的正方形面积，根据两块长方形面积前后不变的原理，无需割补，也不用求证就可轻而易举地得到一个恒等式，即：2ab=c^2-(b-a)^2化简得c^2=a^2+b^2。这就是举世无双最简的勾股定理魏氏证法！

热心网友 时间：2022-05-15 09:33

利用射影定理：

已知：△ABC是直角三角形，∠C=90°。
求证：AC²+BC²=AB²
证明：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD、BD分别是AC、BC在斜边AB上的射影。
由射影定理可得：
AC²=AD·AB ， BC²=BD·AB
∴AC²+BC²=AD·AB +BD·AB=AB·（AD+BD）=AB²

热心网友 时间：2022-05-15 11:58

直角三角形，两直角边的平方之和，是否等于斜边

热心网友 时间：2022-05-15 14:39

我见过最简单的证明勾股定理的方法是利用射影定理：

已知：△ABC是直角三角形，∠C=90°。
求证：AC²+BC²=AB²
证明：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD、BD分别是AC、BC在斜边AB上的射影。
由射影定理可得：
AC²=AD·AB ， BC²=BD·AB
∴AC²+BC²=AD·AB +BD·AB=AB·（AD+BD）=AB²

热心网友 时间：2022-05-15 17:37

测量一下每个边的长度
然后验证勾股定理是不是成立
如果成立就证明了

热心网友 时间：2022-05-15 20:52

勾三，股四，弦五

热心网友 时间：2022-05-16 00:23

stupid

热心网友 时间：2022-05-16 04:11

有！勾股定理魏德武证法从开始到结束仅仅只用四块全等直角三角形板和一个公知的长方形面积公式（s=ab），通过形变（先变二个长方形再变一个正方形）一目了然。可直接得：2s=2ab=C^2-（a-b)^2,，整理后：C^2=a^2+b^2；这样即不要割补也无需推算（因为前后形变后的四块全等直角三角形板面积不变），所以证明起来相当快捷，可一步到位。比起赵爽的割来补去的方法自然是更加简单、易懂，这是不争的事实难道不是吗？