球体表面积的推导过程

发布网友发布时间：2022-04-26 19:53

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热心网友时间：2023-10-26 00:06

把一个半径为R的球的上半球切成n份，
每份等高并且把每份看成一个圆柱，
其中半径等于其底面圆半径
则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)*h
其中h=R/nr(k)=根号[R^-(kh)^]
S(k)=根号[R^-(kR/n)^]*2πR/n=2πR^*根号[1/n^-(k/n^)^]
则S(1)+S(2)+……+S(n)当n取极限（无穷大）的时候就是半球表面积
2πR^乘以2就是整个球的表面积4πR^

也可以积分的方式求得，积分是计算表面积和的最佳方式。
设球半径为R,表面积为S,
那么,S就相当于对球上圆的周长一般式积分,于是
S=2(S)2π(^(R^-x^))dx|(0,R)
=4π(S)(^(R^-x^))dx|(0,R)
=4πx^|(0,R)
=4πR^
其中,记号(S)表积分符,π表圆周率. x^表示x的平方

热心网友时间：2023-10-26 00:07

用的是大学的二重积分设球半径为a，圆心位于原点，则其上半部的方程为z=(a^2-x^2-y^2)^0.5.
dz/dx=-x/(a^2-x^2-y^2)^0.5,dz/dy=-y/(a^2-x^2-y^2)^0.5.由此得，球体表面积为：A=2∫∫(D)a/(a^2-x^2-y^2)^0.5dρ。

热心网友时间：2023-10-26 00:07

其实如果你知道球体积公式，那么把球体分成无数个球壳对半径积分即V=积分号（0->r）S.dr 所以可以看出来表面积S是V的导数，V=4/3πr^3 则V‘=4πr^2