球的面积是怎样推导出来的

发布网友发布时间：2022-04-26 19:53

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热心网友时间：2023-10-26 00:07

可用球的体积公式+微积分推导
定积分的应用：旋转面的面积。好多课本上都有，推导方法借助于曲线的弧长。
让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR^解：设球半径为a，圆心位于原点，则其上半部的方程为z=(a^2-x^2-y^2)^0.5.
dz/dx=-x/(a^2-x^2-y^2)^0.5,dz/dy=-y/(a^2-x^2-y^2)^0.5.由此得，球体表面积为：A=2∫∫(D)a/(a^2-x^2-y^2)^0.5dρ。(曲面面积计算公式，楼主应该知道吧)其余部分详见图。