几何平均数和算术平均数的大小的公式推导

发布网友发布时间：2022-04-26 02:10

共5个回答

热心网友时间：2022-06-19 22:25

(1)n=2时：设a1，a2为实数，
有（a1-a2）²≥0，（当a1=a2时，等号成立）
a1²-2a1a2+a2²≥0，
a1²+a2²≥2a1a2，
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2，
（a1+a2)²/4≥a1a2，
∴（a1+a2)/2≥√a1a2。
(2)设n=k时成立：
（a1+a2+。。+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方）
（3）当n=k+1时：
把ak换成a（n-1)+an，
下面仍然成立。
一般地：（a1+a2+...+an）/n=a1a2.。。an（开n次方）。
算术平均数大于等于几何平均数。

热心网友时间：2022-06-19 22:25

，
有（a1-a2）²≥0，（当a1=a2时，等号成立）
a1²-2a1a2+a2²≥0，
a1²+a2²≥2a1a2，
a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2，
（a1+a2)²/4≥a1a2，
∴（a1+a2)/2≥√a1a2。
(2)设n=k时成立：
（a1+a2+。。+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方）
（3）当n=k+1时：
把ak换成a（n-1)+an，
下面仍然成立。
一般地：（a1+a2+...+an）/n=a1a2.。。an（开n次方

热心网友时间：2022-06-19 22:25

付费内容限时免费查看回答您好亲，非常欢迎您使用百度知道，我是百度知道答主风小小老师，接下来由我为您解答，我正在为您整理答案，请您稍等的亲！

(1)n=2时：设a1,a2为实数,

有（a1-a2）²≥0,（当a1=a2时,等号成立）

a1²-2a1a2+a2²≥0,

a1²+a2²≥2a1a2,

a1²+2a1a2+a2²≥4a1a2,

（a1+a2)²/4≥a1a2,

∴（a1+a2)/2≥√a1a2.

(2)设n=k时成立：

（a1+a2+.+ak)/k=a1a2a..ak(k开k次方）

（3）当n=k+1时：

把ak换成a（n-1)+an,

下面仍然成立.

一般地：（a1+a2+...+an）/n=a1a2..an（开n次方）.

算术平均数大于等于几何平均数。

提问证明几何平均值与调和平均值大小

回答稍等

利用基础的几何和算术并且反向构建方程式可得:(a-b)^2>=0

即(a+b)^2-4ab>=0，故a+b>=√(4ab)=2√(ab)

经过变形可得:√(ab)=<(a+b)/2,

即:几何平均数≤算术平均数。

热心网友时间：2022-06-19 22:26

（a1-a2-a3-···-an）的平方=a1的平方+a2的平方+···+an的平方-ai*aj（i，j=（1~n）；
ai*aj（i，j=（1~n）≥n*（a1*a2*a3*···*an）；所以有 a1的平方+a2的平方+···+an的平方≥n*（a1*a2*a3*···*an）；所以就可以证明：1/n(a1+a2+.....+an)≥(a1a2a3....an)开n次方

热心网友时间：2022-06-19 22:27

楼上的回答已经很详尽了~

几何平均数和算术平均数的大小的公式推导

一般地：（a1+a2+...+an）/n=a1a2.。。an（开n次方）。算术平均数大于等于几何平均数。

高中四个均值不等式推导

具体的推导过程如下：1.调和平均数（Hn）：调和平均数指n个正数的倒数的算术平均数的倒数。Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)。2.几何平均数（Gn）：几何平均数是指n个正数的乘积的n次方根。即Gn(a1*a2*...*an)^(1/n)。3.算术平均数（An）：算术平均数是指n个正数的和除以n。即An=(a1...

...加权平均数、算术平均数、调和平均数的大小关系

1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)证明:1)几何平均数=<算术平均数<-->√(ab)=<(a+b)/2...(*)a>0,b>0--->√a-√b是任意实数 --->(√a-√b)^2>=0 --->a+b-2√(ab)>=0 --->a+b>=2√(ab)--->√(ab)=<(a+...

谁能证明一下调和平均数和几何平均、算术平均和均方根的大小

调和平均数<=几何平均数<=算术平均数<=平方平均数以下设a、b均为正数（这是为了避免分母为0的情况，否则对一些式子非负数也成立）。基础的，几何和算术：因(a - b)^2 >= 0，即(a + b)^2 - 4ab >= 0，故a + b >= √(4ab) = 2√(ab).调和与几何：利用上式，有1 / (1/a...

几何平均数,算术平均数,调和平均数,平方平均数的大小关系

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn (1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^...

均值不等式中四个“平均数”的大小关系

平方平均数≥算数平均数≥几何平均数≥调和平均数 √[(a²+b²)/2]≥(a+b)/2≥√(ab)≥2/(1/a+1/b)引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。平均数表示一组数据集中趋势...

四大平均数的大小关系

四大平均数的大小关系：平方平均数≥算数平均数≥几何平均数≥调和平均数 √[(a²+b²)/2]≥(a+b)/2≥√(ab)≥2/(1/a+1/b)

...几何平均数,算术平均数几个的大小关系证明(1+1/n)^n的极限存在_百度...

算术与平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0，故√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2.n元的情况，几何与算术可以用归纳法来证，有一点小技巧；也可以做为其他一些不等式的推论，如排序不等式、Cauchy不等式，Jensen不等式等。另几个...

加权平均数,算数平均数,几何平均数,调和平均数分别是什么? 如何证明这些...

f1，f2，…，fk是x1，x2，…，xk的权。公式：（x1f1 + x2f2+ ... xkfk）/n，其中f1 + f2 + ... + fk=n，f1，f2，…，fk叫做权。说明：1）“权”的英文是weight，表示数据的重要程度。即数据的权能反映数据的相对“重要程度”。 2）平均数是加权平均数的一种特殊情况...

...证明算数平均数几何平均数调和平均数三者的大小关系

调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足 Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn

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