多元复合函数求导问题δ代表偏导号,2是上角标的意思,求详解

发布网友发布时间：2022-04-26 22:03

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热心网友时间：2023-11-08 11:57

你那偏导号δ太难打了……我就用d代替了哦。

由变换，/dx=1，/dy=-2，dv/dx=1，dv/dy=a.
因此得：
dz/dx=(dz/)*(/dx)+(dz/dv)*(dv/dx)=(dz/)+(dz/dv)
dz/dy=(dz/)*(/dy)+(dz/dv)*(dv/dy)=-2*(dz/)+a*(dz/dv)

再求二阶导。注意函数z具有二阶连续偏导，因此求二阶偏导顺序可交换。
d2z/dx2=(d2z/2)*(/dx)+(d2z/dv)*(dv/dx)+(d2z/dv)*(/dx)+(d2z/dv2)*(dv/dx)
=(d2z/2)+(d2z/dv)+(d2z/dv)+(d2z/dv2)
=(d2z/2)+2*(d2z/dv)+(d2z/dv2)

d2z/dy2=-2*(d2z/2)*(/dy)-2*(d2z/dv)*(dv/dy)+a*(d2z/dv)*(/dy)+a*(d2z/dv2)*(dv/dy)
=4*(d2z/2)-2a*(d2z/dv)-2a*(d2z/dv)+a^2*(d2z/dv2)
=4*(d2z/2)-4a*(d2z/dv)+a^2*(d2z/dv2)

求d2z/dxdy时，用dz/dx对y求偏导或者用dz/dy对x求偏导都一样。下面用第一种。
d2z/dxdy=(d2z/2)*(/dy)+(d2z/dv)*(dv/dy)+(d2z/dv)*(/dy)+(d2z/dv2)*(dv/dy)
=-2*(d2z/2)+a*(d2z/dv)-2(d2z/dv)+a*(d2z/dv2)
=-2*(d2z/2)+(a-2)*(d2z/dv)+a*(d2z/dv2)

代入要化简的式子并整理，得：
6*d2z/dx2+d2z/dxdy-d2z/dy2
=(6-2-4)*(d2z/2)+(12+a-2+4a)*(d2z/dv)+(6+a-a^2)*(d2z/dv2)
=(10+5a)*(d2z/dv)+(6+a-a^2)*(d2z/dv2)
=0

和d2z/dv=0对比发现，要求6+a-a^2=0
即a=-2或3

参考资料：希望对你有帮助~