根式不等式
发布网友
发布时间:2022-05-21 23:16
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热心网友
时间:2023-11-18 06:26
现在只讨论二次根式。因为高次根式非常麻烦,尤其是不同次方的根式。
一般做法是这样的
如果共有两个根号,那么移项使得两边各有一个根号,且没有根号的项全在一边;两边分别平方,消掉一个根号。
如果还有根号,那么将所有的没有平方的项都移到一边去,两边平方,消掉第二个根号。
在以上的平方过程中需要时刻注意平方时不等号仍成立的条件,即|x|>|y|时,x^2>y^2;并且,还要注意恒等式的出现条件。
就以你的题目√(3x+1)>√(2x+1)-1为例。
第一步:显然定义域为x≥-1/3。
第二步,其一:需要看到当√(2x+1)-1<0即x<0时,该不等式恒成立。
第二步,其二:当√(2x+1)-1≥0即x≥0时,我们有必要两边平方:
√(3x+1)>√(2x+1)-1
3x+1>2x+1-2√(2x+1)+1
x-1>-2√(2x+1)
2√(2x+1)>-(x-1)
注意,我们在两边平方之后,将所有的不含根号的项挪到了一边,并且令根式一边的系数是正的。
第三步,其一:当-(x-1)<0即x>1时,该不等式恒成立。注意,这是在x≥0的条件下说的。
第三步,其二:当-(x-1)≥0即x≤1时,继续两边平方:
2√(2x+1)>-(x-1)
4(2x+1)>(x-1)^2
8x+4>x^2-2x+1
x^2-10x-3<0
5-2√7<x<5+2√7
注意到5-2√7≈-0.29,我们可以得到最终结论了:
1、-1/3≤x<0是解集;
2、x≥0且x>1,即x>1是解集;
3、0≤x≤1,且5-2√7<x<5+2√7,即0≤x≤1是解集。
综上,x≥-1/3就是该不等式的解集,也就是说它在定义域内是恒成立的。
此外还有一种办法,就是将不等号改写为等号,然后解根式方程。这样就可以省去讨论不等号改变方向、两边分别是正负的问题。解完方程后得到若干个根(需要验根),则不等式的解集必然在这些根的两两之间。例如得到根为1,2,3,则解集可能是1<x<2且x>3,或别的可能。分别取其中的值(如0.5,1.5,2.5,3.5)代入验证是否成立即可。
当方程无解时,说明这就是个恒成立的不等式。
当有不少于3个根号时,将根号全放在一边然后平方是不能解决问题的(交叉项又出现了3个根号),必须用分别放在两边的办法去做。
对于多个根式混合的一个想法:令其中一个(比方说)√(x-a)=t,解得x=t^2+a,然后代入另外一个去,这样就可以减少一个根号。当然,哪种办法更简单也得实际做了才知道。
当根号太多时,很可能不能解出来。
热心网友
时间:2023-11-18 06:27
不等式是没有固定套路的,重要的都是观察。关键是要多做题目。
象你说的那题:
根号3X+1>-1+根号2X+1
首先要变成:
(根号3X+1)-(根号2X+1)>-1
然后讨论(根号3X+1)-(根号2X+1)跟1比较大小的结果
1、【如果(根号3X+1)-(根号2X+1)大于1
可将两边平方,化简得到:5X+1>根号((3X+1)*(2X+1))
因为根号((3X+1)*(2X+1))大于1,
所以再次两边同时平方,化简后得到:X(19X+5)>0
解得X>0,X<-5/19
】
2、【如果(根号3X+1)-(根号2X+1)大于-1且小于1
可将两边平方,化简得到:5X+1<根号((3X+1)*(2X+1))
◆讨论5X+1的符号◆
①当5X+1的绝对值小于根号((3X+1)*(2X+1))的绝对值时时
②当5X+1的绝对值大于等于根号((3X+1)*(2X+1))的绝对值时时
】
3、【如果(根号3X+1)-(根号2X+1)等于1
】
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由于时间关系,现在已经凌晨一点了,不能打扰家人休息,所以后面几步不能详细帮你做。你说的例题,一时半会儿也弄不到。只能这样了。见谅。
还是自己做看看吧……
新年快乐。。。