均匀介质中的纵波与横波
发布网友
发布时间：2022-05-19 00:40
共1个回答
热心网友
时间：2023-11-25 00:31
根据固体弹性理论，均匀、各向同性、理想弹性介质中的波动方程为
地震波场与地震勘探
式中：向量u表示介质质点受外力F作用后的位移，称为位移向量；F称为力向量；常量λ、μ是介质的弹性参数，称为拉梅系数；ρ是介质的密度。
标量θ为体应变，与向量u的关系为
θ＝divu
算符 ▽2称为拉普拉斯算子：
地震波场与地震勘探
对（1-2-1）式两边分别取散度（div），得到：
地震波场与地震勘探
整理后得
地震波场与地震勘探
注意，其中利用了关系
div·gradθ＝▽2θ
同样，对（1-2-1）两边分别取旋度（rot），得到：
地震波场与地震勘探
令ω＝rot u，整理后得：
地震波场与地震勘探
注意，其中利用了关系
rot·gradθ＝0
（1-2-2）式和（1-2-3）式的右边分别为divF和rotF。由物理场论可知，它们分别表示两种不同性质的作用力。divF表示的是一种涨缩力，而rotF表示的是一种旋转力。（1-2-2）式描述的是在涨缩外力divF的作用下，介质仅产生与体应变θ有关的扰动（体积的相对涨缩），称为无旋波、涨缩波、弹性纵波或P波。（1-2-3）式描述的是在旋转外力rotF的作用下，介质仅产生与旋转应变ω＝rot u有关的扰动（角度的相对转动），称为无散波、切变波、弹性横波或S波。地震勘探中大量使用的激发震源炸药爆炸主要产生涨缩力。因此，它主要产生弹性纵波。要产生弹性横波需使用其他的特殊震源。由此可见，在均匀、各向同性、理想弹性介质中存在着两种独立运动的波：弹性纵波和横波。在无旋波（纵波）场中，质点位移方向（即振动方向）与波的传播方向一致；在无散波（横波）场中，质点位移方向（即振动方向）与波的传播方向垂直。
由物理场论的观点看，位移向量u和力向量F都是向量场。与电场中的电位、重力场中的重力位等一样，它们可以分别用位移位和力位来表示。1858年赫姆霍兹（Helmholtz）在他著名的有关涡流运动的著作中证明了下述定理：任何向量点函数，若它的散度和旋度具有位，则它可以表示为一个无旋部分和一个旋转部分之和。亦即任何一个向量场，如果在定义域内有散度和旋度，则该向量场可以用一个标量位的梯度场和一个向量位的旋度场之和来表示。于是有：
地震波场与地震勘探
式中：φ和ψ分别表示位移场u的标量位和向量位，Φ和Ψ分别表示力场F的标量位和向量位。将（1-2-4）式分别带入（1-2-2）式和（1-2-3）式，就可以得到用位函数形式表示的波动方程：
地震波场与地震勘探
地震波场与地震勘探
令
地震波场与地震勘探
则式（1-2-5）式和（1-2-6）式就可以写为
地震波场与地震勘探
此即在外力作用下用位函数表示的波动方程。这里的外力就是震源的激发力。（1-2-8）式和（1-2-9）式是非齐次波动方程，它的求解比较困难。如果不考虑外力的作用（令力位函数为零），只考虑介质特性对波的影响问题，则上述方程变为齐次方程
地震波场与地震勘探
齐次方程（1-2-10）式和（1-2-11）式的求解要容易得多。求解齐次波动方程的问题在弹性力学中称为波的传播问题。
