如何证明西罗定理?
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发布时间：2022-05-19 03:47
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时间：2023-08-18 20:53
定理1：一个其目|G|可以被一质数次方pk整除的有限群G会有一个其目为pk的子群。
证明：设|G|=pkm且将pr选定为无法存在整除m的p之更高次方。令Ω标记为由G内大小为pk之子集所组成的集合，可知|Ω| = {p^km \choose p^k}及pr+1 \nmid {p^km \choose p^k}，基于之前r的选定。令G以左乘积作用于Ω上，则基于r之选定，会存在一个于Ω内的A，其具有一个会使pr+1 \nmid |θ|之轨道θ=AG。这里会有|θ| = |AG| = [G : GA]的关系，其中GA标示为集合A的隐定子子群，因此pk | |GA|，故pk ≤ |GA|。注意在GA的作用下之于A内的两个元素a和ga可能为不同个的，所以|A| ≥ |GA|。由上述pk ≤ |GA|和|A| ≥ |GA|两个结果，故知|GA| = pk。然后，GA即为此一想要的群。
引论: 设G为一个有限p-群，将G作用于一个有限集合Ω上，及令Ω0为在G的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω0| mod p。
证明：将Ω写成在G下之轨道此种不相交集合的联集。每一个在Ω内的元素x若在G的作用下不固定的话，其将会在其目为|G|/|Gx|之轨道上(其中Gx为隐定子)，此目依题目的假设会是p的倍数(不可能为1，因为其目为1的轨道即为在G的作用下固定的点)。因此结论立即就出来了。
定理2：若H是G的子群且|H|=ps，以及P为G的p-西罗子群，则存在一个在G内的元素a会使得aHa-1为P的子群。特别地是，所有G的西罗p-子群都会共轭(且因此同构)于另一个，即若H和K为G的西罗p-子群，则存在一个G内的元素g会使得g1Hg = K。
证明：设Ω为G内P的左陪集所组成的集合，及H以左乘积作用在Ω上。应用H于Ω上的引理，可知|Ω0| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定义可知p \nmid [G : P]，所以p \nmid |Ω0|，且因为|Ω0| ≠ 0，故会存在一些gP ∈ Ω0。因此对每个于H内的元素h，hgP = gP，故g1hgP = P且g1hg ∈ P，且因此h ∈ gPg1，故H会包含于某些G内元素g之gPg1内。若H为一个西罗p-子群，则|H| = |P| = |gPg1|，因此对某些在G内的g，H = gPg1。
定理3：设q为一有限群G的任一西罗p-子群的目，则np | |G|/q且np ≡ 1 mod p。
证明：依定理2，np = [G : NG(P)]，其中P为任一个子群且NG(P)为于G内P的正规化子，可知此数为|G|/q的因子。令Ω为所有G的西罗p-子群所组成的集合，且P以共轭作用于Ω上。设Q ∈ Ω0并可知对所有x ∈ P，Q = xQx1，因此P NG(Q)。依定理2，P和Q会于NG(Q)内共轭，尤其是Q会在NG(Q)为正规，故可知P = Q。由上可知Ω0 = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω0| = 1 mod p。
