弗罗贝尼乌斯的主要成就

发布网友 发布时间：2022-05-19 03:47

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热心网友 时间：2023-08-14 05:44

弗罗贝尼乌斯的论文数量很多，其中相当一部分非常重要．他有几篇文章是与其他著名学者合作的，尤其与L．施蒂克尔贝格(Stickelberger)和I．舒尔(Schur)的合作最为成功．舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生，被认为是抽象群表示论的初创者之一，他发展和简化了弗罗贝尼乌斯的一些结果．弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版，1968年，他的论文以论文集的形式重新出版，共3卷。
弗罗贝尼乌斯在θ函数、行列式、矩阵、双线性型以及代数结构方面都有出色的工作。1874年，他给出有正则奇点的任意次齐次线性微分方程的一种无穷级数解，后被称为“弗罗贝尼乌斯方法”。关于这一问题的系统研究是由魏尔斯特拉斯的学生I．L．富克斯(Fiuchs)开创的。1878年，弗罗贝尼乌斯发表了正交矩阵的正式定义，并对合同矩阵进行了研究。1879年，他联系行列式引入矩阵秩的概念。弗罗贝尼乌斯还扩展了魏尔斯特拉斯在不变因子和初等因子方面的工作，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子理论，这对线性微分方程理论具有重要意义。1880年，弗罗贝尼乌斯提出发散级数的一种可和性定义，他的结果后来被O．L．赫尔德(H1der)推广，成为(H，r)求和法。
弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面，尤其是群的表示理论。群的思想萌芽虽然在数学史上出现得很早，但其概念直至19世纪后半叶才正式出现．19世纪70，80年代，数学家们通过联系群的三个主要历史根源创造了抽象群的概念。这三个根源是：代数方程的求解理论，包括伽罗瓦群、置换群；几何，包括有限和无限变换群、李群；数论，包括二次型的组合、加法群．抽象群是现代意义下第一个抽象的数学结构．弗罗贝尼乌斯对抽象群概念的形成做出奠基性的贡献。在与施蒂克尔贝格合作的“关于可换元素群”(Ueber Gruppenvon vertauschbaren Elementen，1879)中，他指出抽象群的概念应当包含同余、高斯二次型组合以及。伽罗瓦(Galois)的置换群，他还提到了无限群．发表于1895年的“有限群”(ber endliche Gruppen)也是关于抽象群概念的一篇重要文章．群的抽象概念完成之后，弗罗贝尼乌斯开始研究抽象群理论中的具体问题．1887年，他证明了有限抽象群的叙洛夫(Sylow)定理，即如果一个有限群的阶(有限群的阶指它包含的元素的个数)能被一个素数p的方幂pn整除，则它恒包含一个pn阶子群．19世纪90年代，弗罗贝尼乌斯研究可解群，发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的．研究什么样的群可解，对于确定群的结构很重要。
19世纪末20世纪初，受J．W．R．戴德金(Dedekind)来信的鼓舞，弗罗贝尼乌斯开始创立和发展群论中最系统和最本质的部分——有限群的表示理论。作为群表示论的开端，他对于有限群中n个变量的线性代换理论产生重大影响，这一理论的所有重要方面最终由弗罗贝尼乌斯和舒尔共同完成。群表示论就是用具体的线性群(矩阵群)来描述群的理论．其核心是群特征标理论。弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”(ber die Gruppencharaktere，1896)，“论有限群线性代换”(ber die Darstellungder endlichen Gruppen rch lineareSubstitutionen，1897，1899)，“关于群特征的结构”(ber dieKomposition der Charaktere einer Gruppe，1899)，以及与舒尔合作的“论实有限群”(ber die reellen Darstellungen der end-lichen Gruppen，1906)等。
在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”(ber vertausch-bare Matrizen)、“群特征标”和“群行列式的素因子”(ber diePrimfaktoren der Gruppendeterminante)中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非阿贝尔群的群行列式分解问题。
在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念。设G是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态T∶G→GLd(C)，这里GLd(C)是C上可逆的d×d矩阵群，d还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示．在这篇文章中，他定义在一般情形下，表示T和T'∶G→GLd'(C)是等价的，如果它们有相同的度数，即d=d'，X=T'(g)。特别地，对g∈G，矩阵r(g)和r′(g′)是相似的，因此它们有相同的关于相似性的数值不变量：相同的特征值集合，相同的特征多项式，迹和行列式．表示论的重要不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称X(g)=T(g)，g∈G的迹为表示的特征。这个定义比较简单，成为今天的标准定义。在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义。特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当他们的特征等价．可见研究有限群的特征有重要意义。群的特征的概念后来又被弗罗贝尼乌斯及其他人应用到无限群上。
在“群与其子群特征之间的关系”(ber Relationen zwischenden Charakteren einer Gruppe und denen iher Untergruppen，1898)一文中，弗罗贝尼乌斯对群G的特征和G的子群H的特征之间的关系进行了深刻的分析，他正确地认识到了解这一关系对于表示和特征的实际计算非常重要．在这篇文章中，弗罗贝尼乌斯给出诱导类函数的定义：φg(g)=
他还证明了一个现在称为弗罗贝尼乌斯互反律的基本结果：即若ρ与φ分别是G与H的不可约表示，则φ在ρH(即ρ*到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示φg要工具．弗罗贝尼乌斯关于诱导特征的推广称为例外特征理论。
从1896年至1907年间，弗罗贝尼乌斯发表了20多篇论文，从各方面扩展了特征论和表示论，专门论述了对称群的特征、变换群的特征等。他还得出仅存在少数几个不可约表示、其他所有表示都是由它们组合而成的重要结果。
与弗罗贝尼乌斯同时，英国数学家W．伯恩赛德(Burnside)也独立发展了表示论和特征的方法。他的《有限阶群论》(Theoryof groups of finite order，1897)的第二版(1911)是群论的经典著作之一，在这本书中他表达了对弗罗贝尼乌斯的感谢：“有限阶群作为线性变换的表示论主要由弗罗贝尼乌斯教授创立，而同源的群特征理论完全由他创立”。20世纪20年代，A．E．诺特(No-ether)强调了“模”这一代数结构的重要性，她将代数结构和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展．后来，R．D．布劳尔(Brauer)深化群表示论的研究，引进模表示论。
有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典傅里叶(Fourier)分析。群表示论不仅应用在群的一些比较困难的问题中，在理论物理和量子力学中也有奇妙而重要的应用。