三棱锥的外接球半径怎么求?
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发布时间：2022-05-20 10:14
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时间：2023-10-16 01:55
正三棱锥的外接球半径求法：
设A－BCD是正三棱锥，侧棱长为a,底面边长为b，则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。
设高为AM，连接DM交BC于E，连接AE，然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O，则0就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半径。
（当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时，即角DAE小于90度时，球心在棱锥的内部；当线面角等于90度时，球心恰好在底面正三角形的中心M上。
当线面角大于90度时，球心在棱锥的外部，在棱锥高AM的延长线。下面我给出的解法是第一种情况，球心在棱锥的内部。另两种情况你自己可以照理推出。）
设AO＝DO＝R
则，DM＝2/3DE＝2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3
AM＝根号（a^2-b^2/3)
OM=AM-A0=根号（a^2-b^2/3)-R
由DO＾2＝OM＾2＋DM＾2得
R＝根号3倍的a^2÷2倍的根号（3a^2-b^2)
内切球半径用等体积法，连接内切球球心和棱锥各顶点分割成若干三棱锥，则每个三棱锥体积为1/3底面积×R，全棱锥体积为1/3全面积×R；外接球则先考查任一侧面的三点外心的法线；对于特殊棱锥考虑补形为长方体之类的。
扩展资料
三棱锥外接球又是主要的一种，主要是能补成长方体（包括正方体、正四棱锥）的三棱锥、侧棱与底面垂直的三棱锥、底面与底面垂直的三棱锥和正三棱锥。
补形的类型有：
类型1：一个顶点上三条棱互相垂直，由以互相垂直的三条棱为长、宽、高补成一个长方体，此时长方体的对角线就是外接球直径。
类型2：三组对棱分别相等的三棱锥，此时以对棱为相对面的对角线补成一个长方体
类型3：两组对棱都相等的三棱锥，另一组对棱也相等的三棱锥，可补成正四棱柱
类型4：正四面体（即各棱都相等的三棱锥）。以棱长为正方体面的对角线补成正方体。
