怎么定义实数?
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发布时间：2022-05-17 01:01
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热心网友
时间：2023-09-17 14:50
或者用戴德金分划来定义：
把有理数集Q分成两个非空集合A，B，使A∪B=Q，且对于任意的a∈A，b∈B，都有a<b，A无最大值，这样的分划就称为实数，如果B有最小值x，它就表示这个有理数x，如果B没有最小值，它就是一个无理数。
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时间：2023-09-17 14:50
包括0!
有理数和无理数统称为实数.
实数有如下的分类方法：
如果按有理数和无理数分类，则有
实数 有理数 正有理数 零 负有理数 有限小数或无限循环小数无理数 正无理数 负无理数 无限不循环小数
由于有理数和无理数都有正负之分，如果按正负概念为标准，实数又可分类为
实数 正实数 正有理数 正无理数 零 负实数 负有理数负无理数
这里应当注意：
(1)有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数，例如12=0.5(有限小数)，13=0.3(无限循环小数).
(2)无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数.
(3)有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来
表示；而无限不循环小数不能化为分数，它是无理数.
参考资料：http://www.cbe21.com/subject/maths/html/040201/2001_01/20010109_270.html
一，实数的定义
实数理论的核心问题是对无理数的认识，早在19世纪前期，柯西就已经定义了无理数。他在《分析教程》中，把无理数定义为收敛的有理数数列的极限：
如果存在一个数 和一个有理数数列 ，使得 ，那么 就是一个无理数。例如，纳皮儿（Napier.J）常数 就是有理数基本列收敛的结果。
但是，这个定义在逻辑上有问题。也就是有理数列并不一定收敛于一个无理数。
19世纪60年代末期以后，维尔斯特拉斯，康托，梅雷，戴德金等人分别给出了无理数的定义。他们都是以有理数为基础，引出了无理数，从而建立了实数理论。在所有这些人的工作中，戴德金的实数理论是最完整的，出于对直线连续性的考虑，采用经典的集合理论，他用有理数分割理论定义了无理数，从而定义了实数理论。康托和戴德金大致同时提出了这个假设，所以这个假设被称为“康托-戴德金”公理。这个假设认为，直线上的有理数是不连续的，那么一定还有另外一些“数”来填补直线，才能使得直线是连续的。如何把这些“数”表示出来，戴德金用对全体有理数的一个“分割（等价类）”来定义了无理数，而康托则是用理数序列定义的实数。
1．1 戴德金方法
戴德金方法称为戴德金分割，是将有理数的集合分成两个非空不相交的子集A与B，使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素。戴德金把这种划分定义为是对有理数的一个分割，记为（A，B）。因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数a就是一个分割（A，B）。在这一定义中，由一个给定的有理数r产生的两个实质上等价的分割被看成是同一的。戴德金方法定义的实数的确比较晦涩难懂。其实通俗一点来说，这个方法就是认为直线没有被有理数填满，还有“空隙”存在，那么这个分割就是在数轴上切一刀，把现有的有理数分成两部分，如果这一刀恰好切在了一个有理数上，那么这个分割就是一个有理数，反之，就是一个无理数。
热心网友
时间：2023-09-17 14:51
实数理论的核心问题是对无理数的认识，早在19世纪前期，柯西就已经定义了无理数。他在《分析教程》中，把无理数定义为收敛的有理数数列的极限：
如果存在一个数 和一个有理数数列 ，使得 ，那么 就是一个无理数。例如，纳皮儿（Napier.J）常数 就是有理数基本列收敛的结果。
但是，这个定义在逻辑上有问题。也就是有理数列并不一定收敛于一个无理数。
19世纪60年代末期以后，维尔斯特拉斯，康托，梅雷，戴德金等人分别给出了无理数的定义。他们都是以有理数为基础，引出了无理数，从而建立了实数理论。在所有这些人的工作中，戴德金的实数理论是最完整的，出于对直线连续性的考虑，采用经典的集合理论，他用有理数分割理论定义了无理数，从而定义了实数理论。康托和戴德金大致同时提出了这个假设，所以这个假设被称为“康托-戴德金”公理。这个假设认为，直线上的有理数是不连续的，那么一定还有另外一些“数”来填补直线，才能使得直线是连续的。如何把这些“数”表示出来，戴德金用对全体有理数的一个“分割（等价类）”来定义了无理数，而康托则是用理数序列定义的实数。
1．1 戴德金方法
戴德金方法称为戴德金分割，是将有理数的集合分成两个非空不相交的子集A与B，使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素。戴德金把这种划分定义为是对有理数的一个分割，记为（A，B）。因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数a就是一个分割（A，B）。在这一定义中，由一个给定的有理数r产生的两个实质上等价的分割被看成是同一的。戴德金方法定义的实数的确比较晦涩难懂。其实通俗一点来说，这个方法就是认为直线没有被有理数填满，还有“空隙”存在，那么这个分割就是在数轴上切一刀，把现有的有理数分成两部分，如果这一刀恰好切在了一个有理数上，那么这个分割就是一个有理数，反之，就是一个无理数。
热心网友
时间：2023-09-17 14:51
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零。实数集通常用字母R或<math> \Bbb </math>表示。而用 Rn 来代表 n 维实数空间 (n-dimensional real space)。
实数可以用来测量连续的量的。 实数是不可数的。 理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。 在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位，n为正整数)。 在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数(floating point numbe）
热心网友
时间：2023-09-17 14:52
实数包括，有理数和无理数。
有理数，包括，0，正整数（1，2，3只到无穷大），负正数（-1，-2，到无穷小），正小数（0.1，0.2，0.3 ，1.2，。。。等等），负小数（就是正的前面加负号），和无限循环小数（比如1.33333333333333333333333后面全部都是3，当然也有正和负两种）。分数，在数学里面，通常是要计算成小数来算的，不能单独归类。开2次方，3次方，也是要最好计算成整数，或者小数的。所以分数和根号里面的数，都属于前面几种里面。
无理数，就是无限不循环小数，比如1.23468943739110347103575774。。。到无穷远。小数点后面的数字有无穷个，但是都是没有规律排列的。前面讲的1.33333333333 后面就是不停重复 3，而无理数则 无规律可言。
比较典型的无理数 有 PAI，也就是圆周率，以及根号2。说白了，无理数就是有理数里面的几个特列。
以上就是所有的实数类型了。
再说下虚数，虚数就是实数的一些特列。比如-3，-4，-6的偶次方根（也就是2.4.6.8等），是算不出来的，因为负乘负应该得正，而这里结果是 负的，就不可能，所以为虚。 只要是负数的 偶次方根都是虚数。
