证明:三角形的三条中线交于一点。

发布网友发布时间：2022-05-16 21:56

我来回答

共2个回答

热心网友时间：2023-09-12 17:19

证明三角形的三条中线交于一点：

三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点。

证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可。

因为CF⊥AB,BE所以四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形。

以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。

拓展资料

三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。由定义可知，三角形的中线是一条线段。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

参考资料：百度百科-三角形中线

热心网友时间：2023-09-12 17:19

用向量法证明三角形ABC的三条中线交于一点P，并且对任意一点O有
向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）
注意：要求用向量法，不使用坐标
假设两条中线AD,BE交与P点
连接CP,取AB中点F连接PF
PA+PC=2PE=BP
PB+PC=2PD=AP
PA+PB=2PF
三式相加
2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF
3PA+3PB+2PC=2PF
6PF+2PC=2PF
PC=-2PF
所以PC,PF共线，PF就是中线
所以ABC的三条中线交于一点P
连接OD,OE,OF
OA+OB=2OF
OC+OB=2OD
OC+OC=2OE
三式相加
OA+OB+OC=OD+OE+OF
OD=OP+PD
OE=OP+PE
OF=OP+PF
OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP
由第一问结论
2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP
2PA+2PB+2PC=0
1/2AP+1/2BP+1/2CP
所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP
向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/72624958.html?si=1