求解答:证明命题，设n为正整数，Sn为n的正因子的集合，D为整除关系，则〈Sn，D〉构成格。

发布网友发布时间：2022-05-18 05:54

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热心网友时间：2023-10-09 23:09

证明首先证明〈Sn,D〉是一个偏序集,对任意Sn 中的x,x整除x,(即xDx),故D是自反的;Sn 中的任意x,y,如果xDy,yDx(x整除y,y整除x),由于x,y均是正的,故x=y, D是反对称的,Sn 中的任意x,y,z, 如果xDy,yDz(x整除y,y整除z),则xDz（x整除z), 故D是传递的;于是〈Sn，D〉是一个偏序集.
对Sn 中任意的x,y, x,y的最大公约数(x,y)，必是n的正因子，即(x,y)属于Sn，(x,y)是x,y在Sn中的最大下界, 同理对Sn 中任意的x,y, x,y的最小公倍数[x,y]，也必是n的正因子，即[x,y]属于Sn，[x,y]是x,y在Sn中的最小上界,即〈Sn,D〉中任意两个元均有最大下界和最小上界,故〈Sn，D〉是格.