用第二类换元积分法计算不定积分 ∫1/√1+x^2dx怎么换元

发布网友发布时间：2022-05-18 02:06

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热心网友时间：2023-10-05 09:19

用双曲函数代换
设x=sht,
则
√（1+x^2）=cht,
dx=cht,所以立得结果：
∫1/√1+x^2dx=∫(1/cht)chtdt=
∫dt=t+C
=Arcshx+C
=ln[x+√（1+x^2）]+C
如果双曲函数不熟，就只好用三角代换x=tant（此处略，前面有网友这样做）
上面用到双曲函数的性质：d(
sht)/dt=cht,

1+(sht)²=（cht)²，所以
√（1+x^2）=cht，所以这题用双曲正弦代换很简单
t=arcshx=ln[x+√（1+x^2）]的计算过程：
由
x=sht=[e^t-e^(-t)]/2,

得
e^t-e^(-t)=2x,

所以得（e^t）²-2x(e^t)-1=0
解关于e^t的二次方程即得
e^t=x±√（1+x^2），因为
e^t>0,
所以根号前面只能取正号
所以

e^t=x+√（1+x^2）,

所以
t=ln[x+√（1+x^2）]
所以最后得
∫1/√（1+x^2）dx=ln[x+√（1+x^2）]+C