三角形120度角所对边长为1,求周长的取值范围

发布网友发布时间：2022-05-23 08:50

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热心网友时间：2023-10-18 11:59

解：设三角形另外两个角的其中一个为α，其对边为a，另一个为180°-120°-α=60°-α，其对边为b，那么0＜α＜60°.
由正弦定理得a/sinα=b/sin(60°-α)=1/sin120°，可得a=sinα/sin120°，b=sin(60°-α)/sin120°.
三角形的周长=a+b+1
=sinα/sin120°+sin(60°-α)/sin120°+1
=[sinα+sin(60°-α)]/sin120°+1
=(sinα+sin60°cosα-cos60°sinα)/sin120°+1
=(sinα+sin60°cosα-1/2sinα)/sin120°+1
=(sin60°cosα+1/2sinα)/sin120°+1
=(sin60°cosα+cos60°sinα)/sin120°+1
=sin(60°+α)/sin120°+1
因为0＜α＜60°，所以60°＜60°+α＜120°，从而sin60°<sin(60°+α)≤sin90°，
故sin60°/sin120°+1<sin(60°+α)/sin120°+1≤sin90°/sin120°+1，
即2<sin(60°+α)/sin120°+1≤2√3/3+1.
所以周长的取值范围是(2,2√3/3+1].