x>0,y=4x+x分之一最小值怎么求,公式是什么?

发布网友 发布时间：2022-05-11 01:54

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热心网友 时间：2023-11-25 05:18

本题可以用基本不等式来做：
a+b≥2√(ab)
当且仅当a=b时，取等号。
那么运用上述不等式来做的话，
4x+1/x≥2√(4x
•1/x)=4
当且仅当4x=1/x时，取等号。
此时x=1/2，y取最小值4。

热心网友 时间：2023-11-25 05:19

主要内容：

通过替换、柯西不等式、二次方程判别式及多元函数最值法等，介绍x+y在条件2/x+1/y=1下最大值的计算步骤。
主要公式：
1.均值不等式：正实数a,b满足a+b≥2√ab。
2.柯西不等式：对于四个正实数x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(√xb+√yc)^2，等号条件为：cx=by。

方法一：“1”的代换

x+y
=(x+y)(2/x+1/y)
=(2+1+x/y+2y/x)
利用均值不等式，则有：
x+y≥(2+1+2√2)。
所以：x+y的最大值=3+2√2。

方法二：柯西不等式法

∵(2/x+1/y)(x+y)≥(√2+√1)^2
∴(x+y)≥(√2+√1)^2
即：
x+y≥(√2+1)^2。
所以：
x+y的最大值=3+2√2。

方法三：二次方程判别式法

设x+y=t,则y=t-x,代入已知条件得：
2/x+1/(t-x)=1,
2(t-x)+x=x(t-x)
x^2+(1-t-2)x+2t=0,
方程有解，则判别式为非负数，即：
△=(-1-t)^2-4*2t≥0，
化简得：
(t-3)^2≥4*2。
要求t的最大值，则对不等式两边开方有：
t-3≥2√2,
t≥3+2√2，
即tmax=3+2√2。

方法四：多元函数极值法

设F(x,y)=x+y+λ(2/x+1/y-1),
分别对参数求偏导数得：
Fx=1-2λ/x^2,Fy=1-λ/y^2,
Fλ=2/x+1/y-1。
令Fx=Fy=Fλ=0,则：
x^2=2λ, y^2=1λ,
x=√2λ,y=√λ。
代入得方程：

热心网友 时间：2023-11-25 05:19

关于求函数最值的问题，一般都采用求导数，确定函数的极值点和增减区间，以获得值域及最值。
如题：令f（X）=y=4X+1/X，X>0。
据导数公式：（X^a）’=aX^（a-1）。
则f（X）导数f’（X）=4-X^（-2）=4-1/X^2；
令f’（X）=0，则得零点X1=1/2；
可知f’（X）在（0，1/2）上为负，f（X）递减；
在（1/2，+∞）上为正，f（X）递增。
则X1=1/2是f（X）的极小值点和最小值点，最小值f（1/2）=2+2=4。
此题也可用均值不等式求解：a^2+b^2≥2ab，a、b同号，“=”在a=b时成立。