塞瓦定理的证明定理

发布网友发布时间：2022-05-08 16:41

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①利用塞瓦定理逆定理证明三角形三条高线必交于一点:
设△ABC三边的高分别为AE、BF、CD，垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cot∠BAC)/[(CD*cotABC)]*[(AE*cotABC)/(AE*cotACB)]*[(BF*cotACB)/[(BF*cotBAC)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
②三角形三条中线交于一点（重心）:
如右图：已知，D、E分别为△ABC的边BC、AC 的中点，连接AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于F
求证：AF=FB
证明：∵BD=DC，CE=EA
∴BD/DC=1，CE/EA=1
由塞瓦定理得
(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AF/FB=1∴ AF=FB ，
∴CF为AB边上的中线
∴三角形三条中线交于一点（重心）
③用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）