复合函数定义域有问题 已知函数f[g(x)]的定义域为B,求f(x)的定义域,
发布网友
发布时间：2024-10-09 19:18
共2个回答
热心网友
时间：2024-10-09 20:15
（你好，我会先描述一下对这个问题，我认为的关键要点，然后，再叙述一下我对于复合函数这方面问题的想法，如果关键要点中有你想要的内容，大可不必再往下看了，如果还有些许不明了，可以继续看，此外为了便于理解，我可能说的比较罗嗦和直白，希望我的理解对你有帮助。）
我的理解：
我觉得这个问题的根本在于对两个个定义的理解：复合函数和定义域。
首先，复合函数我的理解是：存在两个函数f(x),g(x),当f(x)的定义域和g(x)的值域交集不为空集，则可以复合成f[g(x)]的形式。（如果令u=g(x),f[g(x)]=f(u),此处的f(u)的自变量u的取值范围就是你所要求的f(x)的自变量，只是用不同的字母代替罢了。）
其次，定义域是指自变量 x的取值范围。何为取值范围?我的理解就是可以取的值和能够取到的值。
可以取，就是在法则f下有意义；能够取到，就比如在一些实际问题中，虽然一些自变量的值可以取，但是由于实际条件的约束，而无法取到，而另一些却可以。
这个问题就在于此，对于f(x)来说一些值是可以取，但是取不到。
（也可以把这类问题当作实际问题来看，比如匀速直线运动，当速度为1时，S(t)=vt=t,对于函数S=t来说，t可以去任意实数，而对于匀速直线运动来说，t的值至少不为负数，不是对于S(t)来说不可以取，而是对于实际问题来说，时间大于等于0，而这里的约束就是g(x)，而事实上，f(x)中的x就是g(x)，只不过用不同的字母表述而已。)
所以，对于f[g(x)]来说，f(x)的定义域，可以取的值是令f有意义的值，而能够取得到的值是在f[g(x)]的定义域约束下的g(x)的值域中的值，而所要求的定义域是在可以取的前提下能够取得到的值。
以下展开分析：（如果已经理解了，可以不看）
（注：以下提到的类似于“f(x)的定义域”和“g(x)的值域”等都是未复合之前的值，复合之后的值会在表述上有所区别）
根据上述我对复合函数的定义的理解，有复合的条件：f(x)的定义域和g(x)的值域交集不为空集，这样就存在着四种情况：
（1）f(x)的定义域和g(x)的值域相等，这种情况最简单，f[g(x)]的定义域就是g(x)的定义域。
（2）f(x)的定义域真包含于g(x)的值域，这种情况下，f[g(x)]的定义域就是在g(x)的定义域中，去掉那些，使g(x)的值不在f(x)定义域中的x的值。
（3）f(x)的定义域真包含g(x)的值域，（这种情况就是你所提问题的情形）这种情况，f[g(x)]的定义域就是g(x)的定义域 ，因为所有g(x)的值都能使f(x)有意义。
（4）f(x)的定义域与g(x)的值域交集不为0，且两者中都含有不属于对方的元素，这种情况下，f[g(x)]的定义域就是使f(x)有意义的g(x)的值所对应的x的值。
正着从复合的过程分析应该没有问题，很好理解（需要注意的就是f[g(x)]的定义域是必然能使f(x)和g(x)都有意义的，在每种情况的第一副图中体现的方式，就是相交部分所对应的x的值。）
接下去就对应以上四类结合你的问题分析：
（1）f[g(x)]的定义域就是g(x)的定义域,此时，通过f[g(x)]的定义域求g(x)的值域，进而得到f(x)的定义域，这里的定义域和直接求f(x)的定义域所得的结果是一样的。
（2）f[g(x)]的定义域真包含于g(x)的定义域，通过f[g(x)]的定义域求g(x)的值域，进而得到f(x)的定义域，这里的定义域和直接求f(x)的定义域所得的结果也是一样的。
（3）f[g(x)]的定义域就是g(x)的定义域，（这种情况就是你所提问题的情形）通过f[g(x)]的定义域求g(x)的值域，进而得到f(x)的定义域，这里的定义域和直接求f(x)的定义域所得的结果是不一样的，因为前者剔除了g(x)取不到的那些值。
（4）f[g(x)]的定义域真包含于g(x)的定义域，通过f[g(x)]的定义域求g(x)的值域，进而得到f(x)的定义域，这里的定义域和直接求f(x)的定义域所得的结果也是不一样的，同样也是剔除了g(x)取不到的那些值。
从复合函数，复合的过程来看：
在复合之前，f(x)和g(x)的定义域都是使函数有意义的值的集合，值域就是在对应法则施加到自变量上，所得的因变量的集合；
在复合之后，（对于你的问题）已知f[g(x)]的情况下，f(x)和g(x)已经不能单独分析，要整体结合f[g(x)]来分析，因为在f[g(x)]复合的时候已经对f(x)和g(x)定义域的取值进行了约束、附加了条件。
从图像上来体现的方式就是，f(x)的定义域和g(x)的值域那四种情况的四幅图中，凡是f(x)的定义域包含于g(x)的值域的，求得的f(x)的定义域和直接求f(x)的定义域的值是相等的；凡是f(x)的定义域真包含g(x)的值域的，求得的f(x)的定义域和直接求f(x)的定义域的值都是不等的。
从定义域的定义来看，一些不符合约束条件的值已经取不到，既然取不到自然不在定义域里了。再简单点说，题目中求f(x)定义域可以理解为求（f[g(x)]中）f(x)的定义域，这样就是求g(x)的值域这点就更好理解了。
热心网友
时间：2024-10-09 20:11
