设函数 f ( x )定义在(0,+∞)上, f (1)=0,导函数 , .(1)求 的单调区间...
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发布时间：2024-10-09 21:16
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时间：2024-10-09 23:09
（1）求 的单调区间和最小值；
（2）讨论 与 的大小关系；
（3）是否存在 x 0 ＞0，使得| g （ x ）﹣ g （ x 0 ）|＜ 对任意 x ＞0成立？若存在，求出 x 0 的取值范围；若不存在请说明理由． （1） g （ x ）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），最小值为 ；（2）当0＜ x ＜1时， ；当 x ＞1时， ；（3）满足条件的 x 0 不存在．证明详见解析.
试题分析：（1）由题设得 ，求导，根据导数的符号即可确定 g （ x ）的单调区间，进而求出其最小值；（2）为了确定 与 的大小关系，便作差判断其符号.设 ，则 ，因此 在 内单调递减.接下来就确定函数 的零点.易知 h （1）=0，即 ；所以当0＜ x ＜1，时， h （ x ）＞ h （1）=0，即 ，当 x ＞1，时， h （ x ）＜ h （1）=0，即 ；（3）根据（1）题的结果可作出 的大致图象；再作出 的图象，结合图象可看出，不论 取多少，当 的值充分大时，必有 ，所以满足条件的 x 0 不存在．接下来就是想方设法找出一个 ，使得 .为了更容易地找出这样的 ，我们将 变形为 ，对左边的不等式 ，易看出当 时便不成立.从而问题得证.
试题解析：（1）由题设易知 ，
∴ ，令 ，得 ，
当 x ∈（0，1）时， g ′（ x ）＜0，故 g （ x ）的单调递减区间是（0，1），
当 x ∈（1，+∞）时， g ′（ x ）＞0，故 g （ x ）的单调递增区间是（1，+∞），
因此 是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
∴最小值为 ；
（2） ，
设 ，
则 ，
当 x =1时， h （1）=0，即 ，
当 x ∈（0，1）∪（1，+∞）时， h ′（ x ）＜0， h ′（1）=0，
因此， h （ x ）在 内单调递减，
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