1平方+2平方+...n平方=n(n+1)(2n+1)/6怎么证明?

发布网友发布时间：2024-10-09 10:17

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热心网友时间：22小时前

如果使用算术方法可以推导出来：

我们知道 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1

(1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.............
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1

以上相加得到：
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ... 此处引用：1 + 2 + 3 + .... + n = n(n + 1)/2

整理化简即可得到：

Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

热心网友时间：22小时前

用数学归纳法证明

热心网友时间：22小时前

用数学归纳法证。

热心网友时间：22小时前

解：
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
.
.
.
.
n^3-(n-1)^3=3*(n-1)^2-3*(n-1)+1 (展开(n-1)^3)
1^2+2^2+……+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6

类似可推1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2或次数更高的。

1平方+2平方+...n平方=n*(n+1)*(2n+1)/6怎么证明?

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