已知函数f(x)=2a^2lnx - x^2,a>0。讨论f(x)在(1,e^2)上零点个数。_百度...

发布网友 发布时间：2024-10-03 12:26

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热心网友 时间：2024-11-15 14:23

解：求导并令f(x)'≥0:
f(x)'=(2a^2)/x-2x≥0 因为只讨论(1,e^2)这个区间，所以只需看x>0的这部分函数图像，（这儿挺重要，后面就不说明了）
因为x>0,则2a^2-2x^2≥0 解得函数在(0,+∞)上：
增区间为：(0,a] 减区间为：[a,+∞)
用图像法画图讨论，大致图像就请楼主自己画了。
讨论：(a>0)
f(1)=-1<0恒成立，（这是个特殊之处，以下就不再叙述了）
a.当0<a≤1时：
由于f(1)<0，则在(1,e^2)上，不论f(a)是大于或小于或等于0都与X轴恒无交点,即恒无零点。
b.当a≥e^2时 (经分析很容易知道不可能存在2个零点的情况)：
无零点时：
f(e^2)≤0------------------空集
一个零点时：
f(e^2)>0-----------------与a≥e^2取交集有：a≥e^2
c.当1<a<e^2时：
无零点时：
f(a)<0--------------------1<a<e^(1/2)
一个零点时(存在2种情况)：
1, f(a)=0-----------------------a=e^(1/2) ， 满足1<a<e^2 ，故a=e^(1/2)成立
2, f(a)>0且f(e^2)≥0-------------------(e^2)/2<a<e^2
两个零点时：
f(a)>0且f(e^2)<0-------------------与1<a<e^2取交集得--------e^(1/2)<a<(e^2)/2
综上所述，合并相同情况后得出：
当：0<a<e^(1/2) 无零点
当：(e^2)/2≤a 和 a=e^(1/2) 一个零点
当：e^(1/2) <a<(e^2)/2 两个零点
这是我自己做的，若有不正确的还请楼主指出。

热心网友 时间：2024-11-15 14:20

给你一个思路：求零点的个数也就是求图像与x轴交点的个数。你先求单调区间（利用导函数），判断单调区间端点处的函数值与0的大小，如果在一个单调区间上两个端点处的函数值异号（正负不同），则在这个区间内就有且只有一个零点，如果同号则没有零点，类似地，在每个单调区间上去判断。