已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax(a∈R)(1)若函数y=f(x)和y=g(x)的图象无公共...
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发布时间：2024-10-03 01:15
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时间：2024-12-06 17:27
∴方程f（x）=g（x）无实数解，即lnx=ax无实数解，
则a=lnxx，令h（x）=lnxx，h′（x）=1?lnxx2，
当x＞e，h′（x）＜0；当0＜x＜e，h′（x）＞0．
故x=e，h（x）取极大值，也为最大值1e．
∴实数a的取值范围是：（1e，+∞）．
（2）证明：令x1＞x2＞0，
∵f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），
∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，
∴lnx1-lnx2=a（x1-x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2），
∴x1?x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2?a（x1+x2）＞2?a＞2x1+x2，
即lnx1?lnx2x1?x2＞2x1+x2?lnx1x2＞2(x1x2?1)x1x2+1，
令x1x2=t，则t＞1，x1?x2＞e2等价于lnt＞2(t?1)t+1，
令g（t）=lnt-2(t?1)t+1，g′（t）=(t?1)2t(t+1)2＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上递增，
即有g（t）＞g（1）=0，即lnt＞2(t?1)t+1成立．
故x1?x2＞e2．
