已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的...
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发布时间：2024-10-02 20:03
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热心网友
时间：2024-10-19 15:33
根据这个定理，我们首先得到结论：AB和CD必须垂直，方能得到最大的体积。
其次，由于AB=CD=R（球的半径），所以如果连结球心O和四个顶点，则容易知道△OAB和△OCD都是正三角形。
设AB的中点为E，CD的中点为F，则OE⊥AB，OF⊥CD。
设AB与CD间的距离为d，则根据定义，应有d≤EF≤OE+OF。
因此，OEF共线时，四面体的体积可以达到最大值，且容易知道这样的四面体存在。
因为OE=OF=√3，故最大值为V=8√3/6。
d≤EF的证明：
定理 两条异面直线m和n，d是其距离，若E是m上一点，F是n上一点，则d≤EF。
证明 不妨设m和n的公垂线段的两端点为A和B，A∈m，B∈n。
过B做m'//m，并在m'上取点E'，使得EE'//AB。容易知道，此时ABEE是平行四边形（对边互相平行），所以AB=EE'。
因为AB⊥m，所以AB⊥m'；又因为AB⊥n，所以AB⊥平面FBE'。从而EE'⊥平面FBE'。
因而，EF=√(EE'^2+E'F^2)≥EE'=d。
热心网友
时间：2024-10-19 15:33
根据这个定理，我们首先得到结论：AB和CD必须垂直，方能得到最大的体积。
其次，由于AB=CD=R（球的半径），所以如果连结球心O和四个顶点，则容易知道△OAB和△OCD都是正三角形。
设AB的中点为E，CD的中点为F，则OE⊥AB，OF⊥CD。
设AB与CD间的距离为d，则根据定义，应有d≤EF≤OE+OF。
因此，OEF共线时，四面体的体积可以达到最大值，且容易知道这样的四面体存在。
因为OE=OF=√3，故最大值为V=8√3/6。
d≤EF的证明：
定理 两条异面直线m和n，d是其距离，若E是m上一点，F是n上一点，则d≤EF。
证明 不妨设m和n的公垂线段的两端点为A和B，A∈m，B∈n。
过B做m'//m，并在m'上取点E'，使得EE'//AB。容易知道，此时ABEE是平行四边形（对边互相平行），所以AB=EE'。
因为AB⊥m，所以AB⊥m'；又因为AB⊥n，所以AB⊥平面FBE'。从而EE'⊥平面FBE'。
因而，EF=√(EE'^2+E'F^2)≥EE'=d。
