已知函数y= lnx,求其旋转体体积.
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发布时间：2024-10-02 22:11
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时间：2024-11-11 10:22
解：建立直角坐标系，作出y=lnx曲线及其过原点的切线．
（1）设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点（x0，lnx0）处的切线方程是
y＝lnx0+1x0(x?x0)．①
由该切线过原点知
lnx0-1=0，从而x0=e．
代入①式得该切线的方程为
y＝1ex．
则利用微元法可知平面图形D的高为dy的微元面积为：
dA=（ey-ey）dy，则D的面积为
A＝∫10(ey?ey)dy＝12e?1．
（2）切线y＝1ex与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为
V1＝13πe2．
曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为
V2＝∫10π(e?ey)2dy，
因此所求旋转体的体积为
V＝V1?V2＝13πe2?∫10π(e?ey)2dy＝π6(5e2?12e+3)．
