正态分布的特征函数证明

发布网友发布时间：2024-10-03 07:07

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热心网友时间：2024-10-05 06:20

特征函数是指随机变量的复数值函数，可以唯一地确定该随机变量的概率分布。对于正态分布，其特征函数可以通过如下方式证明：设X是一个正态分布的随机变量，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。特征函数定义为：?(t) = E[e^(itX)]其中，i为虚数单位，t为实数。要证明正态分布的特征函数，可以先计算e^(itX)的期望值。由于正态分布是连续型随机变量，可以使用积分计算期望值。E[e^(itX)] = ∫[?∞,∞] e^(itx) * f(x) dx将f(x)代入，得到：E[e^(itX)] = ∫[?∞,∞] e^(itx) * ((1 / (σ * √(2π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2))) dx根据指数函数的性质，上述式子可以进一步化简为：E[e^(itX)] = (1 / (σ * √(2π))) * ∫[?∞,∞] exp(-((x-μ)^2) / (2 * σ^2) + itx) dx使用换元法，令u = (x - μ) / σ，进行变量替换后得：E[e^(itX)] = (1 / (σ * √(2π))) * ∫[?∞,∞] exp(-((uσ + μ - μ)^2) / (2 * σ^2) + it(uσ + μ)) σ du简化后得：E[e^(itX)] = (1 / √(2π)) * ∫[?∞,∞] exp(-((σu)^2) / 2 + itσu) du根据高斯积分公式，上述式子进一步简化为：E[e^(itX)] = exp(itμ + (σ^2 * t^2) / 2)即为正态分布的特征函数。综上所述，正态分布的特征函数为：?(t) = exp(itμ + (σ^2 * t^2) / 2)