【笔记】数学分析原理 Baby Rudin(八)函数序列
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发布时间：2024-10-02 19:03
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时间：2024-10-28 01:54
【定义 7.7】函数序列 ${f_n}$ 在集合 $A$ 上一致收敛到函数 $f$，若对所有 $x \in A$ 有 $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ 且存在常数 $M$ 使得 $|f_n(x)| \leq M$ 对所有 $n$ 和 $x$ 成立。
【定义 7.14】度量空间 $X$ 上全体复值连续有界函数的集合记作 $C(X)$。若 $X$ 为紧集，则 $C(X)$ 由 $X$ 上全体复值连续函数组成。
【定义 7.19】函数序列 ${f_n}$ 在集合 $A$ 上逐点有界，若对所有 $x \in A$ 存在常数 $M_x$ 使得 $|f_n(x)| \leq M_x$。在 $A$ 上一致有界，若存在常数 $M$ 使得 $|f_n(x)| \leq M$ 对所有 $n$ 和 $x$ 成立。
【定义 7.22】度量空间 $X$ 上由函数族组成的集合若对每个点的微小变化都保持函数族的函数微小变化，则该集合称为等度连续。
【定义 7.28】函数族 $A$ 若对加法、乘法、数乘封闭，则称 $A$ 为代数。若一致收敛序列的极限函数也位于 $A$ 中，则 $A$ 为一致闭的。一致闭包为由所有一致收敛序列极限函数组成的集合。
【定义 7.30】函数族 $A$ 若对于任意两点 $x,y \in X$ 存在 $f \in A$ 使得 $f(x) \neq f(y)$，则 $A$ 能分离点。若不存在消失点，则称不消失。
【定理 7.8】Cauchy 准则：函数序列在集合 $A$ 上一致收敛，当且仅当其 Cauchy 序列收敛于 $A$ 中的同一函数。
【定理 7.9】若函数序列在集合 $A$ 上逐点收敛到函数 $f$，则在 $A$ 上一致收敛当且仅当极限函数 $f$ 存在。
【定理 7.10】Weierstrass 准则：假设序列 $f_n$ 收敛于常数，那么该序列在集合 $A$ 上一致收敛。
【定理 7.11】一致收敛下，极限次序可交换。
【定理 7.12】若函数序列在集合 $A$ 上一致收敛于 $f$，则 $f$ 在 $A$ 上连续。
【定理 7.13】在紧集 $X$ 上，若连续函数序列逐点收敛至连续函数 $f$ 且有界，则 $f$ 在 $X$ 上一致连续。
【定理 7.16】一致收敛下，极限与积分次序可交换。
【定理 7.17】一致收敛下，极限与求导次序可交换。
【定理 7.23】可数集上逐点有界的复值函数序列必有逐点收敛的子序列。
【定理 7.24】若 $X$ 为紧度量空间，$f_n$ 在 $X$ 上一致收敛，则 $f_n$ 在 $X$ 上等度连续。
【定理 7.25】若 $X$ 为紧度量空间，$f_n$ 在 $X$ 上逐点有界且等度连续，则存在一致收敛的子序列。
【定理 7.15】定义集合 $C(X)$，则 $C(X)$ 是完备度量空间。
【定理 7.26】Weierstrass 定理：若 $f$ 是实值函数，则存在多项式函数序列一致收敛至 $f$。如果 $f$ 是实值，多项式可以是实多项式。
【定理 7.27】在每个闭区间 $[a, b]$ 上，存在实多项式序列一致收敛于任何有界函数。
【定理 7.29】设 $A$ 是有界函数的代数 $C(X)$ 的闭包，则 $A$ 是一致闭的代数。
【定理 7.31】设 $A$ 是集合 $X$ 上的函数的代数，若能分离任意两点且不消失，则闭包 $Cl(A)$ 包含所有复连续函数。
【定理 7.32】Stone-Weierstrass 定理：若紧集 $X$ 上的实连续函数的代数 $A$ 能分离任意两点且不消失，则闭包 $Cl(A)$ 包含所有实连续函数。
【定理 7.33】设紧集 $X$ 上的复连续函数的自伴代数 $A$ 能分离任意两点且不消失，则闭包 $Cl(A)$ 包含所有复连续函数。
本章深入探讨了函数序列的性质，从逐点收敛到一致收敛，再到代数的视角，涵盖了求极限次序交换、求极限与求导/积分次序交换、函数收敛的连续性与可积性、一致收敛的性质等。这些理论为后续研究提供了坚实的基础。
