已知定点 A(- 3 ,0) ,B是圆 C:(x- 3 ) 2 + y 2 =16 (C为圆心)上的
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发布时间：2024-10-02 18:39
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时间：2024-10-06 06:22
∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4
又∵ |AC|=2 3 ＜4 ∴点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴E的轨迹方程为 x 2 4 + y 2 =1
（2）设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ），PQ的中点为（x 0 ，y 0 ）
将直线y=kx+m与 x 2 4 + y 2 =1
联立得（1+4k 2 ）x 2 +8kmx+4m 2 -4=0△=16（4k 2 +1-m 2 ）＞0，即4k 2 +1＞m 2 ①
又 x 0 = x 1 + x 2 2 = -4km 1+4 k 2 ， y 0 = y 1 + y 2 2 = m 1+4 k 2
依题意有 y 0 -0 x 0 -(-1) =- 1 k ，
整理得3km=4k 2 +1②
由①②可得 k 2 ＞ 1 5 ，∵m＞0，∴k＞0，∴ k＞ 5 5
设O到直线l的距离为d，则 S △OPQ = 1 2 d?|PQ|= 1 2 ? m 1+ k 2 ? 1+ k 2 16(4 k 2 +1- m 2 ) 1+4 k 2
= 2 (4 k 2 +1)(5 k 2 -1) 9 k 2 = 2 9 20+ 1 k 2 - 1 k 4
当 1 k 2 = 1 2 时，△OPQ的面积取最大值1，
此时 k= 2 ，m= 3 2 2 ，∴直线方程为 y= 2 x+ 3 2 2
