已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ax2-x(a∈R).(1)求f(x)的单调区间和极值点...
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发布时间：2024-10-03 15:16
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时间：2024-10-03 15:35
由f′（x）＞0得x＞1e，f′（x）＜0得0＜x＜1e，
∴f（x）在（0，1e）单调递减，在（1e，+∞）单调递增，
f（x）的极小值点为x=1e．（注：极值点未正确指出扣1分） （3分）
（2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax2-x（x＞0），∴ax≥lnx+1，
即a≥lnx+1x对任意x＞0恒成立，
令h（x）=lnx+1x，则h′（x）=?lnxx2，
由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1，
∴h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
∴h（x）max=h（1）=1，∴a≥1，
∴当a≥1时f（x）≤g（x）恒成立．
（3）假设存在实数m，使得方程3f(x)4x+m+g(x)＝0有三个不等实根，
即方程6lnx+8m+x2-8x=0有三个不等实根，
令φ（x）=6lnx+8m+x2-8x，
φ′(x)＝6x+2x?8＝2(x2?4x+3)x＝2(x?3)(x?1)x，
由φ′（x）＞0得0＜x＜1或x＞3，由φ′（x）＜0得1＜x＜3，
∴φ（x）在（0，1）上单调递增，（1，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的极大值为φ（1）=-7+8m，φ（x）的极小值为φ（3）=-15+6ln3+8m．（11分）
要使方程6lnx+8m+x2-8x=0有三个不等实根，则函数φ（x）的图象与x轴要有三个交点，
根据φ（x）的图象可知必须满足?7+8m＞0?15+6ln3+8m＜0，解得78＜m＜158?34ln3，（13分）
∴存在实数m，使得方程3f(x)4x+m+g(x)＝0有三个不等实根，
实数m的取值范围是78＜m＜158?34ln3．（14分）
