...e 为自然对数的底数.(Ⅰ) 当 a =-1时,求 f ( x )
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发布时间:2024-10-03 15:22
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时间:2024-10-04 03:53
解:(1) 当 a =-1时, f ( x )=- x +ln x ,
f ′( x )′=
当0< x <1时, f ′( x )>0;
当 x >1时, f ′( x )<0.
∴ f ( x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
f(x )max= f (1)=-1
(2) ∵ f ′( x )′= a + , x ∈(0,e],
① 若 a ≥- ,则 f ′′( x )≥0,从而 f ( x )在(0,e]上增函数
∴f(x )max= f ( e )= ae +1≥0.不合题意
② 若 ,则由 f ′( x )′>0 ,
即0< x <
由 f ( x )<0 ,即 < x ≤ e .
从而 f ( x )在 上增函数,在 为减函数
∴
令-1+ln ,则ln =-2
∴ ,即a= .
∵
∴a=-e 2
(3) 由(1)知当 a =-1时f(x) max= f (1)=-1,∴| f ( x )|≥1
又令 ,
令 g ′( x )=0,得 x = e ,
当0< x < e 时, g ′( x )>0, g ( x ) 在(0, e )单调递增;
当 x > e 时, g ′( x )<0, g ( x ) 在( e ,+∞)单调递减
∴
∴g(x)<1
∴| f ( x )|> g ( x ),即| f ( x )|>
∴方程| f ( x )|= 没有实数解.