...e=2.71828…是自然对数的底数,a∈R.(1)若a=-1,求f
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发布时间：2024-10-03 15:22
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时间：2024-10-04 03:55
f?（x）=-1+1x=1?xx，
∴当1＜x＜e时，f?（x）＜0，此时f（x）单调递减，当0＜x＜1时，f?（x）＞0，此时f（x） 单调递增，
∴f（x）的极大值为f（1）=-1．
（2）∵f（x）的极大值即f（x）在（0，e]上的最大值为-1
令h（x）=?g(x)?12＝?lnxx?12，
∴h/(x)＝lnx?1x2，
∴当0＜x＜e时，h?（x）＜0，且h（x）在x=e处连续
∴h（x）在（0，e]上单调递减，
∴h（x）min=h（e）=1e?12＞-1=f（x）max
∴当x∈（0，e]时，f(x)＜g(x)?12
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax+lnx有最大值-3，x∈（0，e]，
f?（x）=a+1x，
①当a≥?1e时，由于x∈（0，e]，则f?（x）=a+1x≥0且f（x） 在x=e处连续
∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，
∴f（x）max=f（e）=ae+1=-3，解得a＝?4e＜?1e（舍去）．
②当a＜?1e时，
则当-1a＜x＜e时，f?（x）=a+1x＜0，此时f（x）=ax+lnx 是减函数，
当0＜x＜?1a时，f?（x）=a+1x＞0此时f（x）=f（x）=ax+lnx 是增函数，
∴f（x）max=f（-1a）=-1+ln（?1a）=-3，解得a=-e2．
由①、②知，存在实数a=-e2，使得当x∈（0，e]，时f（x）有最大值-3．
