...已知数列{an}为等比数列,且an>0,Sn为前n项的和,Tn=1/a1+1/a2+...

发布网友 发布时间：2024-10-03 15:29

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热心网友 时间：2024-10-03 15:29

这个题就看你对多项式展开式意义的理解了，先把过程写一下，再来解释：
设公比为t。
要证：Pn=[Sn/Tn]^(n/2)，即证：(Pn)^2=(Sn/Tn)^n
即证：(Pn)^2*(Tn)^n=(Sn)^n
而(Pn)^2*(Tn)^n=a1^2*a2^2*a3^2*…*an^2*(1/a1+1/a2+...1/an)^n
=a1^(2n)*t^〔2(0+1+2+…+n-1)〕*1/a1^n*(1/1+1/t+1/t^2+…+1/t^(n-1))^n
=a1^n*t^n(n-1)*(1/1+1/t+1/t^2+…+1/t^(n-1))^n
=a1^n*t^n(n-1)*〈1+1/t+1/t^2+…1/t^(n-1)+1/t+1/t^2+1/t^3+…1/t^n+1/t^2+1/t^3+1/t^4+…1/t^(n+1)+…+1/t^(n-1)(n-1)+1/t^〔(n-1)(n-1)+1〕+…1/t^n(n-1)〉
=a1^n*〈1+t+t^2+…t^(n-1)+t+t^2+t^3+…t^n+t^2+t^3+t^4+…t^(n+1)+…+t^(n-1)(n-1)+t^〔(n-1)(n-1)+1〕+…t^n(n-1)〉
=a1^n*〔1+t+t^2+…t^(n-1)〕^n
=Sn^n
则有：Pn=[Sn/Tn]^(n/2)
想必你看不懂的应该是(1/1+1/t+1/t^2+…+1/t^(n-1))^n的展开式，这里你就真的把它看做n个式子相乘，然后按照一定的顺序来看，比如升幂的顺序，首先第一项是n个1相乘，第二项是前面n-1个1加一个1/t相乘，第三项是n-1个1加一个1/t^2相乘，第n项是n-1个1加一个1/t^(n-1)相乘
第n+1项就是n-2个1加一个1/t和一个1相乘（注意我的表述），第n+2项就是n-2个1加一个1/t和一个1/t相乘（还是要注意我的表述），那么再就是依次类推了，想必你也明白这个推的方法了吧，事实上在考试时你能写出那么多个就已经够了，然后就是要写出最后一个系列（再推一下给你看）最后一个系列的第一项是n-1个1/t^(n-1)和一个1相乘，第二项是n-1个1/t^(n-1)和一个1/t相乘，第三项是n-1个1/t^(n-1)和一个1/t^2相乘，而最后一项自然是n个1/t^(n-1)相乘了。至于后面就是把展开式和t^n(n-1)相乘了，也就是一个指数的加减法了，就不说了，而如果你真正理解了这个过程你会发现乘出来的〈1+t+t^2+…t^(n-1)+t+t^2+t^3+…t^n+t^2+t^3+t^4+…t^(n+1)+…+t^(n-1)(n-1)+t^〔(n-1)(n-1)+1〕+…t^n(n-1)〉和一开始的式子几乎一模一样，只是少了分之一这个东西，加上a1^n也就是Sn^n，也就证完了