...=PB,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平面PAB⊥平面ABC.(Ⅰ)求证:PA⊥平 ...
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发布时间：2024-10-03 08:40
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热心网友
时间：2024-10-19 13:05
且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC．
又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC．
（Ⅱ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
设 PA=PB= 6 ，∵PA⊥PB，∴ AB=2 3 ，PO=BO=AO= 3 ．
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴ OM=AO?sin30°= AO 2 ，∴ tanPMO= PO OM = AO OM =2 ，
即二面角P-AC-B的大小是arctan2．
（Ⅲ）在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D，
连接OC，OD，PD．
则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，
∴BC=AB?tan30°=2， OC= O B 2 +B C 2 = 7 ，
∴ PC= P O 2 +C O 2 = 10 ．
易知底面ABCD为矩形，从而OC=OD，PC=PD．
在△PCD中， cosPCD= 1 2 CD PC = 30 10 ，
∴异面直线AB和PC所成角的大小为 arccos 30 10 ．
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时间：2024-10-19 13:04
且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC．
又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC．
（Ⅱ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
设 PA=PB= 6 ，∵PA⊥PB，∴ AB=2 3 ，PO=BO=AO= 3 ．
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴ OM=AO?sin30°= AO 2 ，∴ tanPMO= PO OM = AO OM =2 ，
即二面角P-AC-B的大小是arctan2．
（Ⅲ）在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D，
连接OC，OD，PD．
则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，
∴BC=AB?tan30°=2， OC= O B 2 +B C 2 = 7 ，
∴ PC= P O 2 +C O 2 = 10 ．
易知底面ABCD为矩形，从而OC=OD，PC=PD．
在△PCD中， cosPCD= 1 2 CD PC = 30 10 ，
∴异面直线AB和PC所成角的大小为 arccos 30 10 ．
