直线3x-4y-4=0被圆(x-3)²+y²=9截得的弦长为
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发布时间：2024-10-03 08:23
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热心网友
时间：2024-10-06 06:42
圆心是 ( 3，0 )，半径是 r = 3，
圆心到直线 3x - 4y - 4 = 0 的距离
( 3X3 - 4X0 - 4 ) / √(3" + 4")
= ( 9 - 4 ) / 5
= 1
弦心距就算出 d = 1，
弦长、弦心距、半径的关系 (l/2)" + d" = r"，那么
(l/2)" = 3" - 1" = 8 = (2√2)"
l = 4√2
这样就算出了弦长是 4√2
或者，当作检验，把直线一般式变形
4y = 3x - 4
y = (3x - 4)/4
直线的斜率就是 3/4，斜截式就是
y = (3/4)x - 1
代入圆的方程式中
( x - 3 )" + ( 3x - 4 )"/16 = 9
x" - 6x + 9 + ( 9x" - 24x + 16 )/16 = 9
16x" - 96x + 9x" - 24x + 16 = 0
25x" - 120x + 16 = 0
x" - 4.8x + 0.64 = 0
配方
x" - 4.8x + (2.4)" - 5.76 + 0.64 = 0
( x - 2.4 )" - 5.12 = 0
( x - 2.4 )" - (1.6√2)" = 0
( x - 2.4 - 1.6√2 )( x - 2.4 + 1.6√2 ) = 0
解方程
x1 = 2.4 + 1.6√2
x2 = 2.4 - 1.6√2
代数法
AB = ( x1 - x2 )√( 1 + k" )
= ( 2.4 + 1.6√2 - 2.4 + 1.6√2 )√( 1 + 9/16 )
= (3.2√2)√(25/16)
= (3.2√2) X 5/4
= 5 X 0.8√2
= 4√2
这样也算出了弦长是 4√2
还可以先找到圆与直线的两个交点
y1
= (3/4)x1 - 1
= 1.8 + 1.2√2 - 1
= 0.8 + 1.2√2
y2
= (3/4)x2 - 1
= 1.8 - 1.2√2 - 1
= 0.8 - 1.2√2
再计算两个交点的距离
[ ( 2.4 + 1.6√2 ) - ( 2.4 - 1.6√2 ) ]" + [ ( 0.8 + 1.2√2 ) - ( 0.8 - 1.2√2 ) ]"
= ( 1.6√2 + 1.6√2 )" + ( 1.2√2 + 1.2√2 )"
= (3.2√2)" + (2.4√2)"
= ( 10.24 + 5.76 ) X 2
= 16 X 2
= ( 4√2 )"
这样算出的弦长还是 4√2，没错！
感谢你的提问，又让我回到高中数学的平面解释几何，
这些题目又增加了我在百度解题的网络游戏。
也请你采纳我的回答，帮助我的团队得分，谢谢！
热心网友
时间：2024-10-06 06:47
o到直线距离：d=丨3*3+（-4）*0-（-4）丨/√(3^2+(-4)^2)=13/5
弦长：l=2√(r^2-d^2)=2√14/5
