(1+X^2)(1-X)^5展开式中x3的系数为(详细答案)谢谢

发布网友发布时间：2024-10-03 17:06

共2个回答

热心网友时间：2024-10-03 22:17

这个就要用到二项式定理了
先考虑(1-X)^5的通项为：C(r,5)(-x)^r,对于这一个因式，x的次数能取到的值为0，1，2，3，4，5
对于另外一个因式(1+X^2)，x能取到的指数范围是0，2
两个相乘要能凑成x^3，只有两种方法，一个是x×x，一个是1×x
当是x×x，其系数为C(r,5)(-x)^r当r=2的时候的系数，也就是C(2,5)=10.
当是1×x，其系数就是C(r,5)(-x)^r当r=3的时候的系数，也就是-C(3,5)=-10
所以总的系数就为10-10=0.也就是说x^3的系数就是0

热心网友时间：2024-10-03 22:17

因为(1＋x)^5*(1-x)^4
=[(1+x)(1-x)]^4*(1+x)
=(1-x^2)^4*(1+x)
=[(1-x^2)^2]^2*(1+x)
=(1-2x^2+x^4)^2*(1+x)
=(1+4x^4+x^8-4x^2+2x^4-4x^6)*(1+x)
=(x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1)*(x+1)
=x^9-4x^7+6x^5-4x^3+x+x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1,
所以在(1＋x)^5*(1-x)^4的展开式中，x^3的系数为-4.