在平面直角坐标系 中,矩形OABC过原点O,且A(0,2)、C(6,0),∠AOC的平分...

发布网友 发布时间：2024-10-03 16:11

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热心网友 时间：2024-11-13 04:47

（1）（6，2）；（2）1，当t=2或t=5+ 或t=5- ；（3）t 1 = ，t 2 =2．

试题分析：（1）根据题意知B点坐标为（6，2）；
（2）①可设t秒后△OPQ的面积等于1，则有P（ ，t）Q（2t，0），根据三角形的面积即可计算出t的值；
②要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB 2 =（6-t） 2 +（2-t） 2 ，QB 2 =（6-2t） 2 +2 2 ，PQ 2 =（2t-t） 2 +t 2 =2t 2 ，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可；
(3)存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值．
试题解析：（1）根据题意知B点坐标为（6，2）；
(2)①设t秒后△OPQ的面积等于1，则有P（ ，t）Q（2t，0），则有：
×t×2t=1
解得：t=1或-1（舍去）
故1秒后△OPQ的面积等于1
②要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．
如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，
∵OP= t，∴OG=PG=t，
∴点P（t，t）
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB 2 =（6-t）2+（2-t）2，QB 2 =（6-2t） 2 +2 2 ，PQ 2 =（2t-t） 2 +t 2 =2t 2 ，
①若∠PQB=90°，则有PQ 2 +BQ 2 =PB 2 ，
即：2t 2 +[（6-2t） 2 +2 2 ]=（6-t） 2 +（2-t） 2 ，
整理得：4t 2 -8t=0，
解得：t 1 =0（舍去），t 2 =2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，则有PB 2 +QB 2 =PQ 2 ，
∴[（6-t） 2 +（2-t） 2 ]+[（6-2t） 2 +2 2 ]=2t 2 ，
整理得：t 2 -10t+20=0，
解得：t=5± ．
∴当t=2或t=5+ 或t=5- 时，△PQB为直角三角形．
（3）存在这样的t值，理由如下：
将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，
则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形．
∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（ t， t），
∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t-6，t-2），
代入y=- （x-t） 2 +t，得：2t 2 -13t+18=0，
解得：t 1 = ，t 2 =2．
考点: 二次函数综合题．