...ax(a∈R),g(x)=xex.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)当a<1时,若存_百度...
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发布时间：2024-10-08 04:16
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时间：2024-10-08 04:33
则f′（x）=1-a+1x+ax2=x2?(a+1)x+ax2=(x?a)(x?1)x2，
①若a≤0，由f′（x）＞0，得x＞1．此时函数单调递增，即增区间为（1，+∞），
由f′（x）＜0，得0＜x＜1．此时函数单调递减，即减区间为（0，1），
②若0＜a＜1，由f′（x）＞0，得x＞1或0＜x＜a．此时函数单调递增，即增区间为（1，+∞），（0，a），
由f′（x）＜0，得a＜x＜1．此时函数单调递减，即减区间为（a，1），
③若a=1时，f′（x）≥0，此时函数单调递增，即增区间为（0，+∞）；
④若a＞1，由f′（x）＞0，得x＞a或0＜x＜1．此时函数单调递增，即增区间为（a，+∞），（0，1），
由f′（x）＜0，得1＜x＜a．此时函数单调递减，即减区间为（1，a）．
（Ⅱ）当a＜1时，若存在x1∈[1，2]，使得对任意的x2∈[1，2]，f（x1）＜g（x2）恒成立，
则f（x）min＜g（x）min
由Ⅰ知，f（x）在[1，2]上为增函数，则f（x）min=f（1）=1-a，
∵g（x）=xex．
∴g′（x）=1?xex≤0，即g（x）在[1，2]上为减函数，
则g（x）min=g（2）=2e2，
故1-a≤2e2，即1-2e2≤a＜1．
